Kezdőlap


Feladat:	1358. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Gy. , Baskay I. , Breuer Gy. , Cseh S. , Cseresnyés Zoltán , Demény Jolán , Egri György , Fehér György , Freud Géza , Gáspár Rezső , Grosz László , Halász Iván , Holzer Pál , Hörcher János , ifj. Seidl Gábor , Jani K. , Kelemen I. , Kieweg Ferenc , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lazarovits I. , Mandl Béla , Nagy Elemér , Radovics György , Schreiber Béla , Sebestyén J. , Száva István , Szerényi László , Varga Irén
Füzet:	1937/december, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Körülírt kör középpontja, Szinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1358. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Az $A B M$ , ill. $A C M$ háromszögre érvényes:

\begin{matrix} A M : B M = sin β : sin x, A M : M C = sin γ : sin y . \end{matrix}

E két aránypár megfelelő tagjait szorozva:

\begin{matrix} {\bar{A M}}^{2} : \bar{B M} \cdot \bar{M C} = sin β sin γ : sin x sin y . \end{matrix}

Ha azonban

A M

B M

és

M C

darabok mértani középarányosa, akkor

\begin{matrix} {\bar{A M}}^{2} = B M \cdot M C és így sin x sin y = sin β sin γ . \end{matrix}

2^{0}

x + y = α

. Az

1^{0}

. alatti összefüggés alapján

\begin{matrix} sin x sin y = \frac{1}{2} [cos (x - y) - cos (x + y)] = sin β sin γ \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} cos (x - y) = 2 sin β sin γ + cos (x + y) = 2 sin β sin γ + cos α . \end{matrix}

Ilyen módon

x + y = α

adott összefüggésen kívül kiszámítjuk

(x - y)

-t úgy, hogy

x

és

y

meghatározható.

3^{0}

\begin{matrix} α = \frac{π}{2} esetében cos α = 0 és \\ cos (x - y) = 2 sin β sin γ = 2 sin β cos β = sin 2 β = cos (\frac{π}{2} - 2 β) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} cos (x - y) = 2 sin β sin γ = 2 cos γ sin γ = sin 2 γ = cos (\frac{π}{2} - 2 γ) \end{matrix}

és kiemeljük, hogy

| x - y |

, valamint

| \frac{π}{2} - 2 γ |

csak hegyesszög lehet.

Már most két eset lehetséges:

x + y = \frac{π}{2}

és

x - y = \frac{π}{2} - 2 β

. Innen

x = \frac{π}{2} - β = γ

és

y = β

x + y = \frac{π}{2}

és

x - y = \frac{π}{2} - 2 γ

. Innen

x = β

és

y = γ

x = β

y = γ

, az

A M B

és

A M C

háromszögek egyenlőszárúak.

B M = A M = C M

; most az

M

pont

B C

átfogó felezőpontja, a háromszög köré írható kör középpontja. Ekkor valóban:

{\bar{A M}}^{2} = B M \cdot M C

.
Ha pedig

x = γ

és

y = β

, az

A M B

és

B A C

háromszögek hasonlóak:

A M B ∢ = B A C ∢ = \frac{π}{2}

. Ezen esetben

A M

az átfogóhoz tartozó magasság, amely valóban mértani kőzéparányosa az átfogó két szeletének.

Cseresnyés Zoltán (Ref. g. VII. o. Debrecen).