Kezdőlap


Feladat:	1357. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Egry György , Fehér György , Gáspár Rezső , Grosz László , Hajnal Miklós , Halász Iván , Holzer Pál , Hörcher János , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Nagy Elemér , Radovics György , Rappaport Sándor , Rusznák I. , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Seidl Gábor , Somogyi Antal , Székely Z. , Szél Gy. , Szerényi László
Füzet:	1937/december, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1357. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B$ vonaldarab tetszőleges helyzetében legyen $O A = α$ , $0 B = β$ , ahol $α$ , $β$ változók, azonban úgy, hogy $α^{2} + β^{2} = k^{2}$ . Minthogy $P$ koordinátái $α$ , $β$ , a $P$ pont egy kört ír le, melynek középpontja az origo és sugara $k$ .

M

pont az

A B

egyenesen fekszik; koordinátái (

x

y

), kielégítik az

\begin{matrix} \frac{x}{α} + \frac{y}{β} = 1 ill. β x + α y = α β ... \end{matrix}

(1)

egyenletet. Másrészt az

M

pont rajta fekszik a

P

-től,

A B

-re merőlegesen vont egyenesen, melynek egyenlete:¹.

\begin{matrix} y - β = \frac{α}{β} (x - α) vagy α x - β y = α^{2} - β^{2} ... \end{matrix}

(2)

1)-ből és 2)-ből

M

koordinátái (

x

y

) kiszámíthatók, mint

α

és

β

függvényei:

\begin{matrix} x = \frac{α^{3}}{α^{2} + β^{2}} = \frac{α^{3}}{k^{2}}, y = \frac{β^{3}}{k^{2}} ... & (3) \\ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = (α^{2} + β^{2}) : k^{\frac{4}{3}} = k^{2} : k^{\frac{4}{3}} = k^{\frac{2}{3}} . \end{matrix}

Eszerint az

M

pont oly görbét ír le, melynek egyenlete

\begin{matrix} x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = k^{\frac{2}{3}} ... \end{matrix}

(4)

A görbe tetszőleges

M

pontjában húzott érintőre nézve:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}} \frac{d y}{d x} = 0 azaz \frac{d y}{d x} = - {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{3}} = - {(\frac{y}{x})}^{\frac{1}{3}} . \end{matrix}

A 3) alatti egyenletekből

\begin{matrix} \frac{y}{x} = \frac{β^{3}}{α^{3}}, {(\frac{y}{x})}^{\frac{1}{3}} = \frac{β}{α}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = - \frac{β}{α} ... \end{matrix}

(5)

\frac{d y}{d x}

jelenti az

M

pontban húzott érintő,

- \frac{β}{α}

M

ponton átmenő

A B

egyenes irányhatározóját. Ezen két irányhatározó egyenlő, azaz

A B

C

görbét az

M

pontban érinti.
A feltételek szerint változó

A B

-t a

C

görbe burkolja. A

C

görbe két része az

O

pontra nézve, két‐két része a koordinátatengelyekre nézve szimmetrikus. A görbe minden ilyen része az

O

pontból nézve domború. A görbének a koordináta‐tengelyek is érintői; az érintési pontok csúcspontok.²

Radovics György (Érseki g. VIII. o. Bp. II.).

A B

irányhatározója

- \frac{β}{α}

; a reá merőleges egyenesé:

\frac{α}{β}

²Elsőfajú csúcspontok.