Kezdőlap


Feladat:	1356. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagdy Dániel , Bluszt Ernő , Cseresznyés Zoltán , Dudás Imre , Egri György , Fehér György , Fekete András , Gáspár Rezső , Grosz László , Grünfeld Sándor , Holzer Pál , Hörcher János , ifj. Seidl Gábor , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Papp István , Pásztor L. , Radovics György , Sándor Gyula , Sebestyén Gyula , Sommer György , Somogyi Antal , Szerényi László , Szlovák István , Tóbiás István , Weisz Alfréd
Füzet:	1937/december, 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Körülírt kör középpontja, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Egyenesek egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1356. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög köré írt kör $O$ középpontja eleget tesz a követelménynek, mert $O A = O B = O C$ .

Legyen

M

egy tetszőleges pont, melyre nézve

\begin{matrix} \bar{M B^{2}} + \bar{M C^{2}} = 2 \bar{M A^{2}} ... \end{matrix}

(1)

I

B C

oldal felezőpontja, akkor az

M B C △

-ben az

M I

súlyvonalra nézve érvényes:

\begin{matrix} \bar{M B^{2}} + \bar{M C^{2}} = 2 \bar{M I^{2}} + 2 \bar{B I^{2}} ... \end{matrix}

(2)

1)-ből és 2)-ből

\begin{matrix} 2 \bar{M A^{2}} = 2 \bar{M I^{2}} + 2 \bar{B I^{2}} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \bar{M A^{2}} - \bar{M I^{2}} = \bar{B I^{2}} ... \end{matrix}

(3)

azaz az

M

pontra nézve az

A

és

I

szilárd pontoktól való távolságok négyzetének különbsége állandó, tehát az

M

mértani helye oly egyenes, mely

A I

-re merőleges és a fentiek szerint keresztülmegy a háromszög köré írt kör középpontján.

Sándor Gyula (Kölcsey Ferenc g. VII. o. Bp. VI.)

II. Megoldás. Derékszögű koordinátarendszerünk

X

-tengelye legyen a

B C

egyenes és origója a

B C

oldal felező pontja.
A

B

csúcs koordinátái: (

- b

, 0), a

C

csúcsé (

b

, 0), az

A

csúcsé (

a

h

). Ha az

M

koordinátái

x

y

, akkor ezekre nézve érvenyes:

\begin{matrix} {(x - b)}^{2} + y^{2} + {(x + b)}^{2} + y^{2} = 2 [{(x - a)}^{2} + {(y - h)}^{2}] ... \end{matrix}

(1)

A kijelölt műveletek végrehajtása és egynemű tagok összevonása után

\begin{matrix} 2 a x + 2 h y = a^{2} + h^{2} - b^{2} ... \end{matrix}

(2)

Eszerint az

M

pont koordinátái között elsőfokú összefüggés áll fenn; ez egyenes egyenlete. Ezen egyenes irányhatározója

- \frac{a}{h}

, az

O A

egyenesé pedig

\frac{h}{a}

, tehát a 2) egyenes merőleges

O A

-ra (az

A B C_{▵}

súlyvonalára).

Azon

M

pont, amelyre nézve

x = 0

, az

Y

-tengelyen, a

B C

-t merőlegesen felező egyenesen fekszik és 2) szerint az

\begin{matrix} y = \frac{a^{2} + h^{2} - b^{2}}{2 h} \end{matrix}

ordináta határozza meg. Könnyen igazolható, hogy a

\begin{matrix} (0, \frac{a^{2} + h^{2} - b^{2}}{2 h}) \end{matrix}

pont az

A B C △

köré írt kör középpontja. Ugyanis ennek az

Y

-tengelyen kell feküdnie, tehát koordinátái (

0

y

); mivel egyenlő távolságban van

A

-tól és

B

-től (ill.

C

-től)

\begin{matrix} y^{2} + b^{2} = a^{2} + {(h - y)}^{2} és innen y = \frac{a^{2} + h^{2} - b^{2}}{2 h} . \end{matrix}