Kezdőlap


Feladat:	1354. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fehér György , Fonó András , Freud Géza , Gombos S. , Grosz László , Grünfeld Sándor , Halász Iván , Holzer Pál , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Sebestyén Gyula , Sommer I. , Somogyi Antal , Zubek P.
Füzet:	1937/december, 109 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1354. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Vizsgáljuk az

\begin{matrix} y = \frac{k^{2}}{a^{2} + x} + \frac{l^{2}}{b^{2} + x} - 1 \end{matrix}

függvény változását.

a

b

k

l

megadott valós számok,

a^{2}

b^{2}

k^{2}

l^{2}

pozitív számok. A függvény mindenütt folytonos, kivéve az

x = - a^{2}

és

x = - b^{2}

helyeket. Ezen helyeken a függvény értéke

\mp \infty

; ugyanis, ha

ε > 0

és

x = - a^{2} - ε

ε \to 0

, akkor

y \to - \infty

. Ha pedig

x = - a^{2} + ε

és

ε \to 0

, akkor

y \to + \infty

.
Ugyanígy áll a dolog, ha

x = - b^{2}

.
Ha

x = \pm \infty

, akkor

y = - 1

.
A függvény differenciálhányadosa

\begin{matrix} y' = - \frac{k^{2}}{{(a^{2} + x)}^{2}} - \frac{l^{2}}{{(b^{2} + x)}^{2}} . \end{matrix}

Nyilván

y'

x

bármely értékénél

< 0

, tehát a függvény mindenütt fogy. (Két helyen szakadása van.) A változását feltünteti a következő táblázat:

\begin{matrix} x \end{matrix}