Kezdőlap


Feladat:	1353. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Gy. , Bleyer J. , Büchler Magda , Cseh Sándor , Csuri Vilmos , Czipott Zoltán , Demény Jolán , Dónáth G. , Egri György , Fehér György , Fonó Péter , Freud Géza , Frisch R. , Gállik István , Gáspár Rezső , Gombos S. , Grosz L. , Hajnal M. , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Holzer Pál , ifj. Seidl Gábor , Katter Herbert , Kemény Gy. , Klein József , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Margulit György , Nádas J. , Nagy Elemér , Németh K. , Papp I. , Radovics György , Rappaport S. , Róth Pál , Sándor Gyula , Sebestyén Gyula , Somogyi Á. , Szerényi László , Törös Anna , Varga Irén , Zubek P.
Füzet:	1938/január, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Konvergens sorok, Mértani sorozat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1353. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Vizsgáljuk a $C_{0} B_{0} C_{1} B_{1} C_{2} B_{2} ... C_{i} B_{i} ...$ törtvonal részeit és ezeket fejezzük ki $C_{0} B_{0}$ (ill. $B_{0} C_{0}$ ) és $α$ segítségével.

\begin{matrix} I . {\begin{matrix} B_{0} C_{1} = B_{0} C_{0} cos α, & B_{1} C_{1} = B_{0} C_{1} cos α = B_{0} C_{0} cos^{2} α \\ B_{1} C_{2} = B_{0} C_{0} cos^{3} α, & B_{2} C_{2} = B_{0} C_{1} cos^{4} α s. í. t. \end{matrix} \end{matrix}

Eszerint

B_{0} C_{0}

B_{1} C_{1}

B_{2} C_{2}

...

B_{i} C_{i}

...

oly mértani sort alkotnak, melynek első tagja

B_{0} C_{0}

, hányadosa

cos^{2} α

és

0 < cos^{2} α < 1

. Tehát

\begin{matrix} {lim}_{i \to \infty}^{} \sum^{i = 0} B_{i} C_{i} = \frac{B_{0} C_{0}}{1 - cos^{2} α} = \frac{B_{0} C_{0}}{sin^{2} α} = \frac{B_{0} C_{0} \cdot A C_{0}^{2}}{B_{0} C_{0}^{2}} = \\ = A C_{0} \cdot \frac{A C_{0}}{B_{0} C_{0}} = A C_{0} cos ec α . \end{matrix}

4^{0}

. Ugyancsak az I. alatti sor tagjai között szerepelnek

B_{0} C_{1}

B_{1} C_{2}

...

, s. í. t. Ezek oly mértani sort alkotnak, melynek első tagja

B_{0} C_{1} = B_{0} C_{0} cos α

és hányadosa

cos^{2} α

, úgy hogy

\begin{matrix} {lim}_{i \to \infty}^{} \sum_{}^{i = 0} C_{i + 1} B_{i} = \frac{B_{0} C_{0} cos α}{1 - cos^{2} α} = A C_{0} cos ec α cos α = A C_{0} cotg α = A B_{0} cos ec α . \end{matrix}

2^{0}

A B_{0} = B_{0} C_{0} cotg α

A B_{1} = B_{1} C_{1} cotg α = B_{0} C_{0} cos^{2} α cotg α

A B_{2} = B_{2} C_{2} cotg α = B_{0} C_{0} {cos}^{4} α cotg α

, s. í. t.
Az

A B_{i}

távolságok mértani sorának első tagja

B_{0} C_{0} cotg α

, hányadosa

cos^{2} α

; így

\begin{matrix} {lim}_{i \to \infty}^{} \sum_{}^{i = 0} A B_{i} = \frac{B_{0} C_{0} cotg α}{1 - cos^{2} α} = \frac{A B_{0}}{sin^{2} α} = A B_{0} cos {ec}^{2} α . \end{matrix}

3^{0}

. Az

A C_{0}

A C_{1}

A C_{2}

...

A C_{i}

sor tagjai:

A C_{0} = \frac{B_{0} C_{0}}{sin α}

\begin{matrix} A C_{1} = B_{0} C_{1} cotg α = B_{0} C_{0} cos α cotg α = \frac{B_{0} C_{0}}{sin α} cos^{2} α, \\ A C_{2} = B_{1} C_{2} cotg α = B_{0} C_{0} cos^{3} α cotg α = \frac{B_{0} C_{0}}{sin α} cos^{4} α s. í. t. \end{matrix}

Eszerint most oly mértani sorral van dolgunk, mely az

1^{0}

-ből keletkezik, ha annak tagjait

\frac{1}{sin α} = cos ec α

-val szorozzuk; tehát

\begin{matrix} {lim}_{i \to \infty}^{} \sum_{}^{i = 0} A C_{i} = ({lim}_{i \to \infty}^{} \sum_{}^{i = 0} B_{i} C_{i}) cos ec α = A C_{0} cos {ec}^{2} α . \end{matrix}

4

végtelen sor összege rendre:

\begin{matrix} A C_{0} cos ec α, A B_{0} cos {ec}^{2} α, A C_{0} cos {ec}^{2} α, A B_{0} cos ec α . \end{matrix}

Katter Herbert (Bencés g. VIII. o. Sopron)