Kezdőlap


Feladat:	1348. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Grosz László , Jónás Emil , Klein Kató , Komlós János , Sándor Gyula , Somogyi Antal , Sydó Sándor
Füzet:	1937/november, 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Paralelogrammák, Négyszögek középvonalai, Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/szeptember: 1348. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy az $A B C D$ négyszög megfelel a feltételeknek, amennyiben $A B = a$ , $B C = b$ , $C D = c$ , $D A = d$ és $I J = l$ , ahol $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $l$ megadott hosszúságok, $I$ az $A B$ és $J$ a $C D$ oldal felezőpontja.

I

pontból húzzuk meg az

I E # A D

és

I F # B C

távolságokat. Ekkor

D E # A I

és

C F # B I

. Ebből következik, hogy

D E J Δ =_{}^{\sim} C F J Δ

; ugyanis

D J = C J

D E # C F

, azaz a két háromszögben két oldal és az általuk bezárt szögek egyenlők. Kimondhatjuk tehát, hogy

J E = J F

, azaz

J

felezi

E F

-t.
Hosszabbítsuk meg

I J

-t és mérjük fel a meghosszabbításra

J G = I J

távolságot; így az

I E G F

parallelogramma keletkezik, t. i. átlói felezik egymást a

J

pontban.
Ezek alapján most már a szerkesztés menete ez lesz:
Megszerkesztjük az

I E G F

parallelogrammát, amelynek átlója

I G = 2 l

és

I F = E G = B C = b

F G = I E = A D = d

, tehát oldalai ismeretesek. A szerkesztés lehetséges, ha

\begin{matrix} | b - d | < 2 l < b + d \end{matrix}

I E G F

parallelogramma megszerkesztésével ismeretessé válik a másik átlója,

E F = 2 m

is. Ezzel megszerkeszthetjük az

E D J

ill.

F C J

háromszögeket, mert ismeretes 3 oldaluk:

D E = \frac{a}{2}

D J = \frac{c}{2}

E J = m

,
feltéve, hogy

\begin{matrix} | a - c | < 2 m < a + c . \end{matrix}

Ha már most így az

I

J

E

F

C

D

pontokat elhelyeztük, az

I

ponton át párhuzamost vonunk

D E

ill.

F C

-vel és felmérjük rá az

I A = I B = \frac{a}{2}

távolságot.

Sydó Sándor (Révai Miklós r. VIII. o. Győr)