Kezdőlap


Feladat:	1346. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berger Tibor , Fehér György , Grosz László , Halász Iván , Holzer Pál , Jónás Emil , Kádár Géza , Kieweg Ferenc , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lőke Péter , Meitner J. , Mihalik J. , Nagy Elemér , Orbán O. , Pálfay Ferenc , Papp István , Pappert T. , Petricskó Miklós , Reiner I. , Sándor Gyula , Sebestyén Gyula , Seidl Gábor , Somogyi Antal , Sydó Sándor , Szabó János , Székely István , Szerényi László , Szkitsák Rudolf , Tasnádi F. , Zsoldos Endre , Zubek P.
Füzet:	1937/november, 79 - 80. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feuerbach-kör, A háromszögek nevezetes pontjai, Kör egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/szeptember: 1346. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Feuerbach-kör keresztülmegy az oldalak felezőpontjain; ezek koordinátái:

\begin{matrix} (\frac{a + b}{2}, 0), (\frac{a}{2}, \frac{c}{2}), (\frac{b}{2}, \frac{c}{2}) ... \end{matrix}

(1)

A kör egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0 ... \end{matrix}

(2)

Itt az

A

B

C

együtthatókat kell meghatároznunk. Minthogy a 2) kör keresztülmegy az 1) alatti 3 ponton, ezek koordinátái kielégítik a 2) egyenletet és így az

A

B

C

kiszámítására 3 lineáris egyenletet kapunk:

\begin{matrix} {(\frac{a + b}{2})}^{2} + (\frac{a + b}{2}) A + C = 0 ... & (3) \\ {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2} + \frac{a}{2} A + \frac{c}{2} B + C = 0 ... & (4) \\ {(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{c}{2})}^{2} + \frac{b}{2} A + \frac{c}{2} B + C = 0 ... & (5) \end{matrix}

4) és 5) megfelelő tagjainak kivonásával:

\begin{matrix} {(\frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2} + \frac{a - b}{2} A = 0 és innen A = \frac{a + b}{2} ... \end{matrix}

(6)

A

ezen értékét 3)-ba helyettesítve, keletkezik

\begin{matrix} C = 0 ... \end{matrix}

(7)

A

és

C

értékeit helyettesítve pl. 4)-be:

\begin{matrix} \frac{a^{2} + c^{2}}{4} - \frac{a (a + b)}{4} + \frac{c}{2} B = 0 és innen B = \frac{a b - c^{2}}{2 c} ... \end{matrix}

(8)

Eszerint a Feuerbach-kör egyenlete, az adott esetben:

\begin{matrix} 2 c (x^{2} + y^{2}) - (a + b) c x + (a b - c^{2}) y = 0. \end{matrix}

Ezen kör keresztülmegy az origon. Ugyanis az origo az egyik magasság talppontja: a Feuerbach-kör keresztül megy a magasságok talppontjain is.

Szkitsák Rudolf és Szabó János (Kir. kath. g. VIII. o. Bp. II.)