Kezdőlap


Feladat:	1344. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Austerweil L. , Berger Tibor , Füstös I. , Gállik István , Gerő Béla , Gombos S. , Hódi Endre , Holzer Pál , Hörcher János , Jankovich I. , Jónás Emil , Királyhidi Gy. , Klein Kató , Komlós János , Kovács E. , Krisztonosich Jenő , Lázár G. , Lipsitz Imre , Magyar Gy. , Major L. , Mandl Béla , Mihalik I. , Nagy Elemér , Németh K. , Neumann A. , Orbán O. , Pálfay Ferenc , Papp István , Pappert T. , Radovics György , Reiner I. , Sándor Gyula , Schläffer Ödön , Sebők László , Seidl Gábor , Sydó Sándor , Szabó J. , Székely István , Szkitsák Rudolf , Tamás Gy. I. , Tasnádi F. , Tóth M. , Urbán L. , Vajnai I. , Wagner M. , Weisz Alfréd , Zubek P.
Füzet:	1937/november, 78 - 79. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Kombinációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/szeptember: 1344. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Két elhelyezést akkor tekintünk különbözőnek, ha a két elhelyezésben legalább egy sorban elhelyezett kártyák között legalább egy-egy kártya más, a többiek megegyezők. Természetes, hogy ebben az esetben még egy másik sorban is van eltérés.
Jelölje $x$ az ilyen módon keletkező elhelyezések számát. Ha így az egyes sorokba $8 - 8$ bizonyos kártyát kiválasztottunk, és ezeket saját sorukban permutáljuk, mindegyik sorból $8!$ permutáció keletkezik; ezek mindegyike kapcsolható a többi sor permutációival és ezért összesen ${(8!)}^{4}$ kapcsolás lehetséges úgy, hogy mindegyik sorban ugyanazon kártyák maradnak meg. Ha ezt az $x$ eset mindegyikében megtesszük, akkor a 32 elem összes permutációit kaptuk meg, azaz

\begin{matrix} x \cdot {(8!)}^{4} = 32! és innen x = \frac{32!}{{(8!)}^{4}} . \end{matrix}

II. Megoldás. 32 kártyából az első sorba 8-at

(\binom{32}{8})

-féleképpen választhatunk ki. A második sorba már 24 közül kell 8-at kiválasztani; ez

(\binom{24}{8})

-féleképpen lehetséges. A harmadik sorba 16 kártya közül kell 8-at kiválasztani; ez

(\binom{16}{8})

-féleképpen történik. A negyedik sorba

(\binom{8}{8})

számú kiválasztás lehetséges. Így az összes elhelyezések száma

\begin{matrix} (\binom{32}{8}) (\binom{24}{8}) (\binom{16}{8}) (\binom{8}{8}) = \frac{32!}{8! 24!} \cdot \frac{24!}{8! 16!} \cdot \frac{16!}{8! 8!} \cdot \frac{8!}{8!} = \frac{32!}{{(8!)}^{4}} . \end{matrix}

Székely István (Berzsenyi Dániel g. VIII. o. Bp. V.)

Jegyzet. Ha tekintettel vagyunk az egyes sorokban a sorrendre is, akkor, amint ezt a I. megoldás fogalmazásából látjuk, az elhelyezések száma

32!