Kezdőlap


Feladat:	1342. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bagdy Dániel , Bálint Gy. , Berger Tibor , Bluszt Ernő , Csuri Vilmos , Czipott Zoltán , Donáth Géza , Egri György , Fehér György , Fekete András , Frida V. , Füstös I. , Gállik István , Gáspár Rezső , Gombos S. , Grosz László , Grünfeld Sándor , Halász Iván , Hegedüs Zs. , Holzer Pál , Hörcher János , Jankovich I. , Jónás Emil , Kieweg Ferenc , Királyhidi Gy. , Klein Kató , Koch Irmgard , Krisztonosich Jenő , Lázár G. , Lipsitz Imre , Major L. , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Németh E. , Papp István , Pappert T. , Pásztor L. , Radovics György , Rusznák I. , Sándor Gyula , Sebestyén Gyula , Seidl Gábor , Sommer György , Szabó J. , Szádeczky-Kardoss B. , Szentmiklósi L. , Szerényi László , Szkitsák Rudolf , Tasnádi F. , Till G. , Tóth Miklós , Weisz Alfréd , Zubek P.
Füzet:	1937/november, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Azonosságok, Konvergens sorok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/szeptember: 1342. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Bontsuk fel az $S_{n}$ sor tagjait:

\begin{matrix} \frac{1}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{A}{2 n + 1} + \frac{B}{2 n + 3} \\ 1 = A (2 n + 3) + B (2 n + 1) = 2 (A + B) n + 3 A + B . \end{matrix}

Ezen egyenletnek az

n

minden egész számú értékénél fenn kell állania; ez csak úgy lehetséges, ha

\begin{matrix} A + B = 0 és 3 A + B = 1, azaz A = \frac{1}{2} és B = - \frac{1}{2} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} \frac{1}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{1}{2} [\frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 3}] = \frac{1}{2} [f (n) - f (n - 1)] \end{matrix}

ha t. i.

\begin{matrix} f (n) = \frac{1}{2 n + 1} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2} [f (0) - f (1)], \\ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} [f (1) - f (2)], \\ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} [f (2) - f (3)], \\ ... ..., \\ \frac{1}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{1}{2} [f (n) - f (n + 1)], \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} S_{n} = \frac{1}{2} [f (0) - f (n + 1)] = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 3}) = \frac{n + 1}{2 n + 3}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} ha n \to \infty, akkor {lim}_{}^{} S_{n} = {lim}_{}^{} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Tóth Miklós (Premontrei g. VII. o. Gödöllő.)

II. Megoldás. Az

S_{n}

összeg kiszámítása ‐ az előbbihez hasonló módon ‐ végezhető azon alapon is, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{(2 n + 1) (2 n + 3)} = \frac{n + 1}{2 n + 1} - \frac{n + 2}{2 n + 3} . \end{matrix}

III. Megoldás. Az

S_{n}

összeg kiszámítását teljes indukcióval végezték:
Bálint Gy., Bluszt E. és Marosán Z., Csuri V., Donáth G. Frida V., Füstös I., Gáspár R., Gombos S., Orosz L., Holczer P., Kieweg F., Királyhídi Gy., Koch Irmgard, Krisztonosich J., Lázár G., Major L., Mandl B., Németh E., Pappert T., Szentmiklósi L., Szerényi L., Szkitsák R. és Szabó J., Tasnádi F., Weisz A., Zubek P.