Kezdőlap


Feladat:	1338. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Czinczenheim József , Gállik István , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Nagy Elemér , Schreiber Béla , Weisz Alfréd
Füzet:	1937/október, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Tengely körüli forgatás, Ellipszis egyenlete, Egyenes körkúpok, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/május: 1338. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ellipszis egyenlete, főtengelyeire vonatkoztatva:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

Az ellipszis nagy tengelye

A B = 2 a

. Az

F

gyújtópont az ellipszis

M'

pontjának vetülete és

O F = c

. A szóbanforgó kúp térfogata

\begin{matrix} V = \frac{π}{3} {\bar{M P}}^{2} \cdot P F = \pm \frac{π}{3} y^{2} (c - x) . \end{matrix}

+

előjel érvényes, ha

M

az A

(- a,0)

ponttól az

M'

pontig mozog, tehát

- a ≦ x ≦ c

; azonban a

-

előjel veendő, ha

M

M'

-től a

B

ig mozog, azaz

c < x ≦ a

.
Minthogy

M

az ellipszis pontja,

y^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}} (a^{2} - x^{2})

.

Így

\begin{matrix} V = \pm \frac{π}{3} \cdot \frac{b^{2}}{a^{2}} (a^{2} - x^{2}) (c - x) . \end{matrix}

Amint látjuk

\begin{matrix} V = 0, ha x = \pm a és ha x = c . \end{matrix}

x = \pm a

, akkor a kúp alapja, ha

x = c

, a kúp magassága válik zérussá. (Ha

x = \pm a

, a kúp egyenes vonaldarabbá zsugorodik össze, ha

x = c

, a kúp egy kör területébe megy át.)

V

x

-nek folytonos függvénye és pozitív úgy a

(- a, c)

, mint a

(c, + a)

intervallumban. Kell tehát, hogy ezen közökben legalább egy-egy maximuma legyen. Ha

\begin{matrix} f (x) = \pm (a^{2} - x^{2}) (c - x), \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} f' (x) = \pm (3 x^{2} - 2 c x - a^{2}) \end{matrix}

f (x)

-nek és így

V

-nek csak ott lehet maximuma, ahol

\begin{matrix} g (x) = 3 x^{2} - 2 c x - a^{2} = 0, tehát x = \frac{c \pm \sqrt[]{c^{2} + 3 a^{2}}}{3} . \end{matrix}

Ezen egyenletnek két valós, ellenkező előjelű gyöke van. Minthogy

\begin{matrix} g' (- a) = 3 a^{2} + 2 a c - a^{2} = 2 a (a + c) > 0 \\ g' (c) = 3 c^{2} - 2 c^{2} - a^{2} - = 2 (c^{2} - a^{2}) < 0 (mert c < a) \\ g' (+ a) = 3 a^{2} - 2 a c - a^{2} = 2 a (a - c) > 0, \end{matrix}

az egyik gyök

- a

és

c

, a másik

c

és

+ a

között van.

Eszerint

V

értékének változását jellemző táblázat:

\begin{matrix} x & - a & x_{1} & c & x_{2} & + a \\ f' (x) & + & 0 & - & + & 0 & - \\ V & 0 & ↗ & {max}_{}^{} . & ↘ & 0 & ↗ & {max}_{}^{} . & ↘ & 0 \end{matrix}

Így

\begin{matrix} x_{1} = \frac{c - \sqrt[]{c^{2} + 3 a^{2}}}{3}, x_{2} = \frac{c + \sqrt[]{c^{2} + 3 a^{2}}}{3} \end{matrix}