Kezdőlap


Feladat:	1331. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Krisztonosich Jenő , Nagy Elemér
Füzet:	1937/október, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/május: 1331. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szóbanforgó egyenlet $cos^{2} α = z$ helyettesítéssel

\begin{matrix} f (z) \equiv 4 c^{4} (h^{2} + d^{2}) z^{2} - 4 c^{2} d^{2} (g h + c^{2}) z + g^{2} d^{4} = 0, \end{matrix}

(1)

ahol

g

h

c

d

pozitív értékeket jelentenek. Az egyenlet discriminánsával megállapítottuk, hogy ezen egyenlet gyökei valósak, ha

\begin{matrix} d ≦ \frac{c}{g} \sqrt[]{c^{2} + 2 g h} . \end{matrix}

(2)

Ki kell mutatnunk, hogy ekkor az

f (z)

függvény zérushelyei

0

és

1

között vannak (

z = cos^{2} α > 0

f (z)

z

-nek oly másodfokú függvénye, melyben

z^{2}

együtthatója pozitív; tehát zérus helyei

0

és

1

között vannak, ha

\begin{matrix} f (0) > 0, f (1) > 0 és 0 < \frac{z_{1} + z_{2}}{2} < 1 ... \end{matrix}

(3)

ahol

z_{1}

és

z_{2}

f (z) = 0

egyenlet gyökei, tehát

\begin{matrix} \frac{z_{1} + z_{2}}{2} = \frac{4 c^{2} d^{2} (g h + c^{2})}{2 \cdot 4 c^{4} (h^{2} + d^{2})} = \frac{d^{2} (g h + c^{2})}{2 c^{2} (h^{2} + d^{2})} ... \end{matrix}

(4)

Vizsgáljuk meg tehát, fennállanak-e ezen feltételek? Valóban

f (0) = g^{2} d^{4} > 0

és

\begin{matrix} f (1) = 4 c^{4} (h^{2} + d^{2}) - 4 c^{2} d^{2} (g h + c^{2}) + g^{2} d^{4} = {(2 c^{2} h - g d^{2})}^{2} > 0 \\ \frac{d^{2} (g h + c^{2})}{2 c^{2} (h^{2} + d^{2})} < 1 ha d^{2} (g h + c^{2}) < 2 c^{2} (h^{2} + d^{2}), \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} d^{2} g h < 2 c^{2} h^{2} + c^{2} d^{2} ... \end{matrix}

(5)

g h < c^{2}

, az 5) egyenlőtlenség mindenkor fennáll. Ha azonban

g h > c^{2}

, akkor kell, hogy

\begin{matrix} d^{2} (g h - c^{2}) < 2 c^{2} h^{2} azaz d^{2} < \frac{2 c^{2} h^{2}}{g h - c^{2}} ... \end{matrix}

(5a)

legyen. Vegyük már most figyelembe, hogy

d^{2}

legnagyobb értéke 2) szerint:

\frac{c^{2}}{g^{2}} (c^{2} + 2 g h)

; azonban

\begin{matrix} \frac{c^{2}}{g^{2}} (c^{2} + 2 g h) < \frac{2 c^{2} h^{2}}{g h - c^{2}}, mert (c^{2} + 2 g h) (g h - c^{2}) < 2 h^{2} g^{2} . \end{matrix}

Ugyanis, végrehajtva a kijelölt műveleteket, keletkezik:

\begin{matrix} - (c^{4} + 2 c^{2} g h) < 0. \end{matrix}

Ez pedig fennáll. Ha már most

d^{2}

legnagyobb értéke is eleget tesz az

5 a

)-nak, kisebb értékei még inkább. Eszerint a 3) alatti feltételek mindenkor ki vannak elégítve és így

\begin{matrix} 0 < z_{1} < 1, 0 < z_{2} < 1. \end{matrix}

g h - c^{2} > 0

; az egyenlőség tartalma nem változik meg ha osztunk vele.