Kezdőlap


Feladat:	1329. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Czinczenheim József , Deák András , Fonó Péter , Freud Géza , Grosz László , Halász Iván , Holczer Péter , Hörcher János , Kiss J. , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Miklós Erzsébet , Nagy Elemér , Orbán O. , Papp István , Radovics György , Reiner I. , Sándor Gyula , Schreiber Béla
Füzet:	1937/október, 43 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/május: 1329. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha a négyjegyű szám első két jegyével alkotott szám $x$ , a második két jegyével pedig $y$ , akkor a feladat követelménye, hogy

\begin{matrix} 100 x + y = {(x + y)}^{2} ill. {(x + y)}^{2} - (x + y) = 99 x \end{matrix}

legyen. Legyen

(x + y) = z

, akkor

\begin{matrix} z^{2} - z = 99 x vagyis x = \frac{z (z - 1)}{99}, \end{matrix}

ahol

z ≦ 99

. Ha ugyanis

z ≧ 100

lenne, akkor

x ≧ 100

; ez pedig lehetetlen, mert

x

kétjegyű szám.
I.

x

egész szám, ha

z = 99

; ekkor

x = 98

. Minthogy pedig

z = x + y = 99

, azért

y = 01

. Valóban

9801 = {(98 + 01)}^{2} = 99^{2}

.
II.

x

egész szám, ha

99

z (z - 1)

szorzat osztója.

z

és

z - 1

egyidőben nem lehet

3

többszöröse. Kell, hogy vagy

z

vagy

z - 1

legyen

9

többszöröse. Ha már most

\begin{matrix} z = 9 u, akkor z - 1 - 11 v . \end{matrix}

Keresnünk kell a

9 u - 1 = 11 v

határozatlan egyenlet pozitív egész számú megoldásait, úgy, hogy

z < 99

legyen.¹ Tehát

\begin{matrix} 9 u = 11 v + 1, u = v + \frac{2 v + 1}{9} = v + w, ha \frac{2 v + 1}{9} = w . \\ Innen v = \frac{9 w - 1}{2} = 4 w + \frac{w - 1}{2} = 4 w + t, ha \frac{w - 1}{2} = t, azaz \\ w = 2 t + 1. \end{matrix}

Már most

u = v + w = 4 w + t + w = 4 (2 t + 1) + t + 2 t + 1 = 11 t + 5

és így

z = 99 t + 45

.
Feltételünk szerint

z < 99

, tehát csak

t = 0

lehetséges, azaz

\begin{matrix} z = x + y = 45, z - 1 = 44, x = \frac{45 \cdot 44}{99} = 20, y = 25. \end{matrix}

III. Ha pedig

z

11

többszöröse és

z - 1

9

-é, akkor

\begin{matrix} z = 11 u, z - 1 = 9 v, tehát 9 v = 11 u - 1. \end{matrix}

²

Innen

v = u + \frac{2 u - 1}{9} = u + w, ha \frac{2 u - 1}{9} = w, u = \frac{9 w + 1}{2}

\begin{matrix} u = 4 w + \frac{w + 1}{9} = 4 w + t, ha \frac{w + 1}{2} = t ill. w = 2 t - 1. \end{matrix}

Így

\begin{matrix} v = u + w = 4 w + t + w = 4 (2 t - 1) + t + 2 t - 1 = 11 t - 5. \end{matrix}

\begin{matrix} z = 9 v + 1 = 99 t - 45 + 1 = 99 t - 44. \end{matrix}

Minthogy

z ≦ 99

, csak

t = 1

lehetséges, tehát

\begin{matrix} z = x + y = 55 és z - 1 = 54; x = \frac{55 \cdot 54}{99} = 30, y = 25. \end{matrix}

Az adott tulajdonsága három négyjegyű számnak van meg:

\begin{matrix} 3025 = {(30 + 25)}^{2} = 55^{2}, 2025 = {(20 + 25)}^{2} = 45^{2} és 9801 = 99^{2} . \end{matrix}

II. Megoldás. A megoldások egy része a

\begin{matrix} 100 x + y = {(x + y)}^{2} \end{matrix}

egyenletet

\begin{matrix} x^{2} + 2 (y - 50) x + (y^{2} - y) = 0 \end{matrix}

alakra hozva,

x

szerint megoldja és az

\begin{matrix} x = 50 - y \pm \sqrt[]{2500 - 99 y} \end{matrix}

kifejezésben szereplő discriminánshoz fűzi a továbbiakat, amelyek szerint kell, hogy

\begin{matrix} 2500 - 99 y = k^{2} azaz y = \frac{2500 - k^{2}}{99} = \frac{(50 + k) (50 - k)}{99} \end{matrix}

pozitív egész szám legyen. Az első követelmény:

k < 50

.
I.

y

egész szám, ha

50 + k < 100

99

többszöröse, azaz

50 + k = 99

k = 49

és így

y = 1

, tehát

\begin{matrix} x = 50 - 1 \pm 49, azaz x_{1} = 98, x_{2} = 0. \end{matrix}

Nyilván csak

x = 98

felel meg.
II.

50 + k

és

50 - k

egyidőben nem lehet

3

többszöröse³; kell, hogy egyikük

9

, a másik

11

többszöröse legyen, tehát

\begin{matrix} (50 + k) + (50 - k) = 9 u + 11 v = 100 \end{matrix}

egyenlet pozitív egész megoldásait kell keresnünk. Ilyen csak egy van:

u = 5

v = 5

.⁴ Így

\begin{matrix} y = \frac{55 \cdot 45}{99} = 25 és x = 50 - 25 \pm 5, \end{matrix}

azaz

x_{1} = 30

x_{2} = 20

¹Ha felírjuk

9

többszöröseit

18

-tól

9

0-ig, megtaláljuk azt, mely

11

többszörösénél

1

-gyel nagyobb.

²Felírhatjuk $9$ többszöröseit $18$ -tól $90$ -ig; ezek között keressük azokat, melyek $11$ többszörösénél $1$ .gyel kisebbek.

³Ha $50 + k = 3 m_{1}$ és $50 - k = 3 m_{2}$ , akkor $100 = 3 (m_{1} + m_{2})$ . Ez pedig nem állhat meg!

⁴Ugyanis $u = 16 - 11 t$ és $v = 9 t - 4$ alakú megoldásokból következik, hogy $\frac{4}{9} < t < \frac{16}{11}$ , azaz csak $t = 1$ lehetséges.