Kezdőlap


Feladat:	1328. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vajda József , Weisz Alfréd
Füzet:	1937/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Gömbi geometria, Magasságpont, Terület, felszín, Tetraéderek, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1328. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy az oldallapok derékszögű háromszögek, területük aránya a befogók szorzatának arányával egyenlő, azaz

\begin{matrix} t_{A} : t_{B} : t_{C} = (O B \cdot O C) : (O C \cdot O A) : (O A \cdot O B) . \end{matrix}

A befogók szorzatait az

O A \cdot O B \cdot O C

szorzattal osztva, keletkezik:

\begin{matrix} t_{A} : t_{B} : t_{C} = \frac{1}{O A} : \frac{1}{O B} : \frac{1}{O C} ... \end{matrix}

(1)

O

pontnak az

A B C

síkon való vetülete

H

, az

A B C Δ

magassági pontja.^{$^{*}$} Minthogy

O H ⊥ [A B C]

és

O A ⊥ [O B C]

, az

A O H ∢

B C

élben találkozó síkok lapszögét méri; ha ennek jele

L_{A}

, akkor az

O A H

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} O A = \frac{O H}{cos L_{A}} és hasonlóan O B = \frac{O H}{cos L_{B}}, O C = \frac{O H}{cos L_{C}} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} t_{A} : t_{B} : t_{C} = cos L_{A} : cos L_{B} : cos L_{C} ... \end{matrix}

(2)

O

-nál levő triéder gömbi feleslege:

\begin{matrix} 3 \cdot 90^{\circ} - 180^{\circ} = 90^{\circ} . \end{matrix}

A

csúcshoz tartozó triéder lapszögei:

L_{B}

L_{C}

és az

O A

élben találkozó síkoké

90^{\circ}

, tehát

\begin{matrix} α = L_{B} + L_{C} + 90^{\circ} - 180^{\circ} = L_{B} + L_{C} - 90^{\circ} . \end{matrix}

Hasonlóan:

\begin{matrix} β = L_{C} + L_{A} - 90^{\circ} és γ = L_{A} + L_{B} - 90^{\circ} . \end{matrix}

A feladatban foglalt defínició szerint

\begin{matrix} 2 σ = α + β + γ + 90^{\circ} = 2 (L_{A} + L_{B} + L_{C}) - 180^{\circ} \\ σ = L_{A} + L_{B} + L_{C} - 90^{\circ} \end{matrix}

és igy

\begin{matrix} σ - α = L_{A}, σ - β = L_{B}, σ - γ = L_{C} . \end{matrix}

Tekintettel ezen összefüggésekre, 2)-ből keletkezik:

\begin{matrix} t_{A} : t_{B} : t_{C} = cos (σ - α) : cos (σ - β) : cos (σ - γ) . \end{matrix}

Weiss Alfréd (Bólyai g. VII. o. Bp. V.)

^{$^{*}$}L. pl. XIII. évf. 4. számában az 1259. feladatot. (1936/12. 118. old. ‐ a szerk.)