Kezdőlap


Feladat:	1327. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint Nagy Z. , Formágyi Gy. , Gálfi János , Grosz László , Halász Iván , Kemény Miklós , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Nagy Elemér , Rappaport Sándor , Vajda József
Füzet:	1937/szeptember, 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat, Körök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1327. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat határozatlan: végtelen sok kör felel meg a követelménynek, t. i. mindazon körök, melyeknek középpontjai egy, az $O A$ -ra merőleges egyenesen feküsznek.

Ha ugyanis

C

valamely kör középpontja, mely

O

-t merőlegesen metszi, pl. a

B

pontban, akkor

C B ⊥ O B

(azaz

C B

O

kör érintője). Tehát

{\bar{O C}}^{2} = {\bar{O B}}^{2} + {\bar{C B}}^{2}

.
A

C

körnek az

A

ponton is keresztül kell mennie, tehát

C A = C B

. Eszerint

\begin{matrix} {\bar{O C}}^{2} - {\bar{A C}}^{2} = {\bar{O B}}^{2} + {\bar{C B}}^{2} - {\bar{C A}}^{2} = {\bar{O B}}^{2} = r^{2} \end{matrix}

azaz: a

C

pontra nézve az

O

és

A

szilárd pontoktól való távolságok négyzetének különbsége állandó. Tehát a

C

pont mértani helye oly

g

egyenes, mely

O A

-ra merőleges. Ha

O A = a

és

g

C A

-t a

D

pontban metszi, akkor az

O D^{2} - A D^{2} = r^{2}

összefüggésből következik:

\begin{matrix} O D = \frac{r^{2} + a^{2}}{2 a} . \end{matrix}

Ezen alapon a

D

pont megszerkeszthető.

Vajda József (Faludi Ferenc g. VIII. o. Szombathely.)

I. Jegyzet. Ha az

A

pontot zérus sugarú körnek tekintjük, a

g

egyenes az

O

körnek és ezen

A

pontba zsugorodott körnek hatványvonala. Szerkesszünk tehát

k_{1}

és

k_{2}

köröket, melyek az

A

ponton keresztülmennek és az

O

kört metszik: az

O

és

k_{1}

közös húrjának tartója a

g_{1}

egyenes,

O

és

k_{1}

hatványvonala; az

O

és

k_{2}

közös pontjain áthaladó

g_{2}

egyenes az

O

és

k_{2}

hatványvonala.

g_{1}

és

g_{2}

közös

P

pontján keresztül kell mennie a

g

-nek is.

P

-ből

O A

-ra merőlegest állítunk: ez lesz a

g

II. Jegyzet. A feladat szövegéből kimaradt: a keresett kör középpontja az

e

egyenesen fekszik.
A megoldásból kitűnik, hogy ilyen kör csak egy van. t. i. azon kör, melynek középpontja

e

és

g

egyenesek közös pontja. Azonban ezen kör megszerkesztéséhez nincs szükség a

g

egyenesre.