Kezdőlap


Feladat:	1325. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálint Nagy Z. , Bodó Zalán , Cseh Sándor , Gálfi János , Harsányi János , Jankovich István , Kemény Gy. , Királyhidi Gy. , Koch Irmgard , Krisztonosich J. , Nagy Elemér , Papp István , Petricskó Miklós , Radovics György , Rappaport Sándor , Róth Pál , Seidl Gábor , Taussig F. , Tésy G. , Vajda József , Vas J.
Füzet:	1937/szeptember, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, L'Hospital szabály, Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1325. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Tegyük fel egyelőre, hogy $sin x \neq 0$ . Egyenletünket ekkor

\begin{matrix} \frac{1}{sin x} - \frac{cos x}{sin x} - sin x = 0, ill. \frac{1 - cos x - sin^{2} x}{sin x} = 0. \end{matrix}

alakban írjuk; ezen egyenletet az

\begin{matrix} 1 - cos x - sin^{2} x = 0 ill. 1 - cos x - (1 - cos^{2} x) = cos x (cos x - 1) = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei elégítik ki, tehát

\begin{matrix} cos x = 0 azaz x = (2 k + 1) \frac{π}{2} és cos x = 1, azaz x = 2 k π . \end{matrix}

Azonban, ha

x = 2 k π

, akkor

sin x = 0

. Ezen megoldást, melyet egyelőre kizártunk, külön vizsgáljuk meg
Egyenletünk írható így is:

\begin{matrix} \frac{1 - cos x}{sin x} - sin x = \frac{2 sin^{2} \frac{x}{2}}{2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}} - sin x = 2 tg \frac{x}{2} - sin x = 0. \end{matrix}

Ha már most

sin x = 0

, akkor

tg \frac{x}{2} = 0

.
Innen

\begin{matrix} \frac{x}{2} = k π, x = 2 k π . \end{matrix}

Az adott egyenlet összes megoldásai eszerint:

x = (2 k + 1) \frac{π}{2}

x = 2 k π

, ahol

k

bármely egész szám, vagy zérus,

2^{0} .

y

görbéje metszi az

X

-tengelyt azon helyeken, ahol

y = 0

, tehát az

x = 2 k π

helyen is. Ha

k = 0

x = 0

y = 0

, tehát a görbe keresztülmegy az origón.

3^{0} .

y = \frac{1 - cos x}{sin x} - sin x

differenciálhányadosa

\begin{matrix} y' = \frac{sin^{2} x - (1 - cos x) cos x}{sin^{2} x} - cos x = \frac{1 - cos x}{sin^{2} x} - cos x = \\ = \frac{2 sin^{2} \frac{x}{2}}{4 sin^{2} \frac{x}{2} cos^{2} \frac{x}{2}} - cos x = \frac{1}{2 cos^{2} \frac{x}{2}} - cos x . \end{matrix}

x = 0

y' = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2}

helyen

cos x = 0

és

cos \frac{x}{2} = cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt[]{2}}{2},

tehát

2 cos^{2} \frac{x}{2} = 1

és így

\begin{matrix} y' = 1. \end{matrix}

Jegyzet. A megoldások jelentékeny részében nem méltatták kellő figyelemre, hogy

x = 0

helyen

\begin{matrix} y = \frac{1}{sin 0} - cotg 0 - sin 0 = \infty - \infty . \end{matrix}

azaz határozatlan. Ha figyelemmel vagyunk arra, hogy

\frac{1}{sin x} = cosec x

és a szögfüggvények változását az egységsugarú körrel kapcsolatban vizsgáljuk, látni fogjuk, hogy ha

x

a zérushoz közeledik, akkor

cosec x

és

cotg x

értékei (átfogó és befogó) egymáshoz közelednek és

x = 0

mellett egyenlőkké válnak. Tehát nincs szükség messzebbmenő apparátusokra, mint pl. L'H

^

ospitalszabályra vagy sorfejtésre.