Kezdőlap


Feladat:	1324. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodó Zalán , Gálfi János , Harsányi János , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Nagy Elemér , Vajda József
Füzet:	1937/szeptember, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Kör egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Feladat, Vektorok skaláris szorzata
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1324. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kör középpontja legyen $O$ . Derékszögű koordinátarendszerünk kezdőpontja legyen a $P$ pont, a $P O$ egyenes az $X$ -tengely; $P O = a$ . Ezen rendszerben a kör egyenlete

\begin{matrix} {(x - a)}^{2} + y^{2} - R^{2} = 0 ... \end{matrix}

(1)

A

B

pontok koordinátái legyenek

(x_{1}, y_{1})

, ill.

(x_{2}, y_{2})

. Ezek eleget tesznek a következőknek:

\begin{matrix} x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 2 a x_{1} + a^{2} - R^{2} = 0 ... & (2) \\ x_{2}^{2} + y_{2}^{2} - 2 a x_{2} + a^{2} - R^{2} = 0 ... & (3) \end{matrix}

Minthogy

P A ⊥ P B

\begin{matrix} x_{2} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0 ... \end{matrix}

(4)

A B

húr

M

felező pontjának koordinátái:

\begin{matrix} x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, y = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} ... \end{matrix}

(5)

M

pont mértani helyének egyenletét megkapjuk, ha a 2). 3), 4) és 5) egyenletekből kiküszöböljük

(x_{1}, y_{1})

(x_{2}, y_{2})

koordinátákat. Ezen célból adjuk össze a 2), 3) és 4) egyenletek tagjait, a 4) tagjait 2)-vel szorozva. Így keletkezik:

\begin{matrix} {(x_{1} + x_{2})}^{2} + {(y_{1} + y_{2})}^{2} - 2 a (x_{1} + x_{2}) + 2 (a^{2} - R^{2}) = 0 ... \end{matrix}

(6)

Tekintettel az 5) összefüggésekre:

\begin{matrix} 4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 a x + 2 (a^{2} - R^{2}) = 0, ill. x^{2} + y^{2} - a x + \frac{1}{2} (a^{2} - R^{2}) = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} {(x - \frac{a}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{2 R^{2} - a^{2}}{4} ... \end{matrix}

(7)

Oly kör egyenletét kaptuk, melynek középpontja a

P O

távolság felezőpontja és sugara

\frac{1}{2} \sqrt[]{2 R^{2} - a^{2}}

. Ezen kör az

M

pont mértani helye.

Krisztonosich Jenő (Szent-László g. VII. o. Bp. X.)

Jegyzet. Egyik megoldásban felmerül az a kérdés, hogy a 7) kör az adott

O

körön belül fekszik-e? Ezt eldönti azon körülmény, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2} \sqrt[]{2 R^{2} - a^{2}} < R és O ω = \frac{a}{2} < R - \frac{\sqrt[]{2 R^{2} - a^{2}}}{2} ... \end{matrix}

(8)

ahol

ω

M

pont mértani helyéül szolgáló kör középpontja;

O ω

, a két kör centrálisa kisebb a két sugár különbségénél. (A 8) alatti egyenlőtlenségek könnyen igazolhatók.)

II. Megoldás. Az

O M A

derékszögű háromszögben

{\bar{O M}}^{2} + {\bar{M A}}^{2} = R^{2}

. Az

A P B

derékszögű háromszögben pedig

M P = M A

. így

\begin{matrix} {\bar{M O}}^{2} + {\bar{M P}}^{2} = R^{2}, \end{matrix}

azaz az

M

pontra nézve két szilárd ponttól való távolságainak négyzetösszege állandó, tehát

M

mértani helye kör, melynek középpontja a

P O

távolság felezőpontja.

Harsányi János (ág. ev. g. VIII. o. Bp.)