Kezdőlap


Feladat:	1323. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálint Nagy Z. , Bodó Zoltán , Borzsák J. , Cseh Sándor , Gálfi János , Harsányi János , Hörcher János , Jankovich István , Jankovics I. , Kádár Géza , Komlós János , Nagy Elemér , Papp István , Rappaport Sándor , Seidl Gábor , Tésy Gabriella , Vajda József
Füzet:	1937/szeptember, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középponti és kerületi szögek, Merőleges affinitás, Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1323. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az ellipszisnek a főtengelyekre vonatkoztatott egyenlete

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

A (a, o)

pontban húzott árintő egyenlete:

x = a

.
A

P (x_{0}, y_{0})

ponthoz tartozó érintő egyenlete:

\begin{matrix} \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

Ezen egyenes az

A

pontban húzott érintőt oly

Q

pontban metszi, amelyre nézve

\begin{matrix} x = a, y = \frac{b^{2}}{y_{0}} \cdot \frac{a - x_{0}}{a} . \end{matrix}

O Q

egyenes irányhatározója

m = \frac{y}{x} = \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{a - x_{0}}{y_{0}}

.
A

B

pont koordinátái:

(- a,0)

.
A

B P

egyenes irányhatározója:

m' = \frac{y_{0}}{a + x_{0}}

B P ∥ O Q

, ha

m = m'

, azaz, ha

\begin{matrix} \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{a - x_{0}}{y_{0}} = \frac{y_{0}}{a + x_{0}}, ill. \frac{a^{2} - x_{0}^{2}}{a^{2}} = \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \end{matrix}

tehát, ha

\begin{matrix} \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

Ez azonban igaz, mert

P

pont az ellipszisen fekszik, tehát

(x_{0}, y_{0})

kielégítik az ellipszis egyenletét.

Kádár Géza (Dobó István g. VII. o. Eger).

II. Megoldás. Az

A B = 2 a

átmérőjű kör

P'

pontjában húzott érintő az

A

ponthoz tartozó érintőt a

Q'

pontban metszi. Az

O Q'

egyenes felezi az

\hat{A O P'}

középponti szöget. Az

\hat{A B P'}

kerületi szög fele az

\hat{A O P'}

szögnek, azaz

\begin{matrix} \hat{A B P'} = \hat{A O Q'} és így B P' ∥ O Q' . \end{matrix}

Ha már most a kört orthogonális affinitással ellipszissé transzformáljuk,

\frac{b}{a}

karakterisztikának megfelelőleg, a körérintőkből ellipszis érintők lesznek.

^{1}

A

pontnak az

A

B

pontnak a

B

pont fog megfelelni,

P'

-nek

P

Q'

-nek

Q

. A transzformáció a párhuzamosságot nem változtatja meg, azaz párhuzamos egyenesek affin képei párhuzamos egyenesek és így

B P ∥ O Q

^{1}

. (

P' Q'

és

P Q

az affinitás tengelyén, az

R

pontban metszik egymást.

^{1}

)

Komlós János (Gr. Széchenyi István gyakorló r. VII. o. Pécs).

^{$^{*}$}

^{$^{*}$}L. XI. évf. 241. o.