Feladat: 1322. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bodó Zalán ,  Gálfi János ,  Gállik István ,  Kemény Miklós ,  Komlós János ,  Krisztonosich Jenő ,  Nagy Elemér ,  Tóth Miklós ,  Vajda József ,  Weisz Alfréd 
Füzet: 1937/szeptember, 14 - 15. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/április: 1322. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott függvény általában folytonos, kivéve az x=-1 helyen, ahol y=-∞, még pedig bármely oldalról közelitünk az x=-1 helyhez.
Számítsuk ki a függvény első differenciálhányadosát. A függvényt szorzatnak tekintve,

y'=(x-1x+1)2+x⋅2⋅x-1x+1⋅x+1-(x-1)(x+1)2=x-1(x+1)3(x2+4x-1).
y' három helyen tűnik el, ha x=-1 és ha x=-2±5. (Utóbbi értékek az x2+4x-1=0 egyenlet gyökei.) Mindezen helyeken y' előjelét változtatja, tehát a függvénynek e helyeken szélső értékei vannak.
y' az x=-1 helyen végtelenné válik, még pedig y'→-∞, ha x=-1-ε és ε→0, de y'→+∞, ha x=-1+ε és ε→0. Az x=-1 egyenes a görbe aszimptotája.*
Azonban van egy másik aszimptotája is, az y=x egyenes; ugyanis y'=1, ha x=±∞.
A függvény változását a következő táblázat jellemzi:
 

x-∞-2-5-1-2+5+1+∞y'1+0-∓∞+0-0+1y-∞↗max.:-11,08↘-∞↗  max:  0,09↘  min:  0↗+∞

 

A görbe megrajzolása szempontjából még figyelembe vesszük, hogy y=0, ha x=0; a görbe keresztül megy az origon és itt y'=1, azaz a görbe érintője itt az y=x egyenes.
Mindaddig, amíg x<0, y is <0, a görbe az X-tengely alatt fekszik; ha x>0, akkor y>0, kivéve az x=1 helyen, ahol y=0. Tehát, ha x>0, a görbe az X-tengely felett fekszik, az x=1 pontban érinti az X-tengelyt.
 
 

Egyébiránt a görbe az y=x egyenes alatt fekszik; ugyanis, ha x<0, akkor (x-1x+1)2>1, ha pedig x>0, akkor 0<(x-1x+1)2<1. Előbbi esetben |y|>|x|, utóbbi esetben 0≤y<x.
A görbének inflexiós pontja van ott, ahol
y''=16x-8(x+1)4=0,tehát azx=12helyen.

Gállik István és Tóth Miklós (Premontrei g. VII. o. Gödöllő).
*ε pozitív számot jelent,