Kezdőlap


Feladat:	1321. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bodó Zalán , Gálfi János , Halász Iván , Nagy Elemér , Rappaport Sándor , Vajda József
Füzet:	1937/szeptember, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Terület, felszín, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1321. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $O P = Q M = x$ , $O Q = P M = y$ . A feladat követelménye:

\begin{matrix} x y = a (x + y) ... \end{matrix}

(1)

M

a kör pontja tehát

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = R^{2} ... \end{matrix}

(2)

Ezen egyenletrendszer megoldása céljából írjuk:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y = {(x + y)}^{2} - 2 a (x + y) . \end{matrix}

Ha már most

x + y = u

, akkor 2) szerint

\begin{matrix} u^{2} - 2 a u - R^{2} = 0 ... \end{matrix}

(3)

Ezen egyenletnek mindig két valós, ellenkező előjelű gyöke van; közülük csak a pozitívet vehetjük figyelembe, úgy hogy

\begin{matrix} x + y = u = a + \sqrt[]{a^{2} + R^{2}} ... \end{matrix}

(4)

1)-ből pedig

\begin{matrix} x y = v = a u = a^{2} + a \sqrt[]{a^{2} + R^{2}} ... \end{matrix}

(5)

Eszerint

x

és

y

\begin{matrix} z^{2} - u z + v = 0 ... \end{matrix}

(6)

egyenlet gyökei. Ezek valósak, ha

u^{2} - 4 v \geq 0

, ill.

\begin{matrix} u^{2} - 4 a u \geq 0, tehát a u \geq 4 a . \end{matrix}

Ez bekövetkezik, ha

\begin{matrix} \sqrt[]{a^{2} + R^{2}} \geq 3 a, azaz R^{2} \geq 8 a^{2} . \end{matrix}

A feladatnak megoldása eszerint akkor van, ha

2 \sqrt[]{2} a \leq R

.
Alkalmazás. Ha

a = \frac{12}{35} R

, akkor

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{2} \cdot \frac{12}{35} < 1, mert 24 \sqrt[]{2} < 35. Ugyanis 576 \cdot 2 = 1152 < 1225. \end{matrix}

Most

\begin{matrix} a^{2} + R^{2} = R^{2} (\frac{144}{1225} + 1) = R^{2} \frac{1369}{1225} = {(\frac{37}{35} R)}^{2} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} x + y = u = \frac{12}{35} R + \frac{37}{35} R = \frac{49}{35} R = \frac{7}{5} R . \\ x y = v = a u = \frac{7}{5} \cdot \frac{12}{35} R^{2} = \frac{12}{25} R^{2} . \end{matrix}

x

és

y

\begin{matrix} z^{2} - \frac{7 R}{5} z + \frac{12}{25} R^{2} = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei. Innen

x = \frac{3}{5} R

y = \frac{4}{5} R

vagy

x = \frac{4}{5} R

és

y = \frac{3}{5} R

Gálfi János (Kossuth g. VIII. o. Cegléd.)