Kezdőlap


Feladat:	1319. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodó Zalán , Borzsák J. , Cseh Sándor , Demény Jolán , Fehér György , Freud Géza , Gálfi János , Gállik J. , Grosz László , Grünfeld Sándor , Hajnal Miklós , Halász Iván , Harsányi János , Jankovich István , Kádár Géza , Krisztonosich Jenő , Nagy Elemér , Papp István , Radovics György , Rappaport Sándor , Seidl Gábor , Sommer György , Szittyai Dezső , Tésy Gabriella , Tóth Miklós , Törös Anna , Vajda József , Zubek P.
Füzet:	1937/szeptember, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Oszthatóság, Teljes indukció módszere, Feladat, Binomiális együtthatók
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/április: 1319. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} 2^{2 n} + 15 n - 1 = 4^{n} + 15 n - 1 = {(3 + 1)}^{n} + 15 n - 1 = \\ = [3^{n} + (\binom{n}{1}) 3^{n - 1} + \dots (\binom{n}{n - 2}) 3^{2}] + (\binom{n}{n - 1}) 3 + 1 + 15 n - 1 = \\ 3^{2} \cdot M + 3 n + 15 n = 3^{2} M + 18 n = 9 (M + 2 n) . \end{matrix}

Bodó Zalán (Szent-István g. VII. o. Bp. XIV.).

II. Megoldás. Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} f (n) = 2^{2 n} + 15 n - 1 = 9 k . \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 2^{2 n} = 9 k - 15 n + 1. \end{matrix}

Már most

\begin{matrix} f (n + 1) = 2^{2 (n + 1)} + 15 (n + 1) - 1 = \\ = 4 \cdot 2^{2 n} + 15 n + 14 = 4 (9 k - 15 n + 1) + 15 n + 14 = \\ = 36 k - 45 n + 18 = 9 k . \end{matrix}

Ha tehát a tétel igaz

n

-re, igaz

(n + 1)

-re is.
Azonban, ha

n = 1

f (1) = 4 + 15 - 1 = 18

n = 2

f (2) = 16 + 30 - 1 = 45

s. í. t.
Minthogy a tétel igaz, ha

n = 1

n = 2

, tehát igaz, ha

n

bármely közönséges egész szám.

Jankovich István (Érseki g. VII. o. Bp. II.).