Kezdőlap


Feladat:	1318. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Holzer Pál , Vajda József
Füzet:	1937/május, 288. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Mértani helyek, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1318. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ , $B$ pontokon áthaladó valamely $Γ$ gömb a $G$ gömböt a $T$ pontban érintse. A két gömbnek közös érintősíkja a $T$ pontban az $A B$ egyenest a $K$ pontban messe. Kimutatjuk, hogy ezen $K$ szilárd pont (bármely $Γ$ érintési pontjához tartozó érintő sík a $K$ ponton megy keresztül).

Ugyanis ezen

K

pontnak mindkét gömbre vonatkozó hatványa egyenlő, t. i.

{\bar{K T}}^{2}

. Még pedig a

G

gömbre nézve, melynek középpontja

O

és sugara

R

\begin{matrix} {\bar{K T}}^{2} = {\bar{K O}}^{2} - R^{2} . \end{matrix}

Γ

gömbre nézve

\begin{matrix} {\bar{K T}}^{2} = \bar{K A} \cdot \bar{K B} = (K M - A M) (K M + A M) = \\ = {\bar{K M}}^{2} - {\bar{A M}}^{2}, \end{matrix}

ahol

M

A B

felező pontja. Eszerint

\begin{matrix} {\bar{K O}}^{2} - R^{2} = {\bar{K M}}^{2} - {\bar{A M}}^{2} ill. {\bar{K O}}^{2} - {\bar{K M}}^{2} = R^{2} - {\bar{A M}}^{2} = constans . \end{matrix}

K

pont mértani helye eszerint egy sík,^{$^{*}$} mely

O M

-re merőleges. Ezen sík az

A B

-t egy szilárd pontban metszi.
Ebből következik, hogy a

T

pont mértani helye azon kör, melyet a

K

pontból a gömbhöz húzott érintők érintéspontjai írnak le.
Ha

A B ⊥ O M

, akkor a

K

pont a végtelenben van és a szóbanforgó mértani hely a

G

gömb azon legnagyobb köre lesz, amely az

A B

-re, felezőpontjában merőlegesen állított sík metszése.

Jegyzet. A

K

pontnak hatványa a

G

gömbre és bármely, az

A

B

pontokon átmenő

Γ

gömbre nézve ugyanakkora. Ha oly

Γ

gömböt veszünk, mely a

G

gömböt metszi, akkor a

G

és

Γ

metszési síkja mértani helye azon pontoknak, amelyeknek hatványa a két gömbre nézve ugyanakkora; kell tehát, hogy ezen sík a

K

ponton menjen keresztül.
Ezen alapon a

K

pont megszerkeszthető.

^{$^{*}$}Azon pontok mértani helye a síkban, amelyekre nézve két adott ponttól való távolságuk négyzetének különbsége állandó, oly

g

egyenes, mely a két adott pontot összekötő

e

egyenesre merőleges. Ha ezt a

g

egyenest az

e

körül forgatjuk, akkor a szóbanforgó tulajdonsággal rendelkező pontok mértani helyét térben kaptuk meg.