Kezdőlap


Feladat:	1317. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Apfel B. , Barna Tibor , Bluszt Ernő , Bodó Zalán , br. Fehérváry Zs. , Bölcskei János , Csada Imre , Czinczenheim József , Datner Pál , Donáth Géza , Fehér György , Frankl Otto , Füsz János , Gálfi János , Gilyén J. , Goda Gy. , Guttmann A. , Hajnal Miklós , Halász Iván , Harsányi János , Holnapy K. , Holzer Pál , Jakab Károly , Jánoshegyi F. , Juhász L. , Kecskeméti I. , Kemény György , Kertész E. , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Krumpholtz T. , Lóránd Endre , Major L. , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Morvay Sándor , Nagy Elemér , Névtelen , Novák L. , O. Szabó L. , Papp István , Petricskó Miklós , Radovics György , Rappaport Sándor , Róth Pál , Salusinszky E. , Sámuel E. , Say F. , Sebestyén Gyula , Seidl Gábor , Singer T. , Somogyi Antal , Szamek T. , Szittyai Dezső , Szőcs I. , Than Károly , Vadas J. , Vajda József , Vass L. , Vecsés J. , Vendler Z. , Weisz Alfréd
Füzet:	1937/május, 286 - 287. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Euler-egyenes, Súlypont, Magasságpont, Koszinusztétel alkalmazása, Háromszögek szerkesztése, Feladat, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1317. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ezen feladatot ‐ a II. évf. 139. oldalán ‐ többféleképpen oldottuk meg. Tekintettel erre, most csak az idézett helyen található megoldásokon túlmenő megállapításokra szorítkozunk.
I. A háromszög megadott csúcsa legyen $A$ , súlypontja $S$ és magassági pontja $M$ .
Ha ezen pontok egy egyenesbe esnek, akkor a háromszög egyenlőszárú. Ha $M \equiv S$ , akkor a háromszög egyenlőoldalú. Ha $M \equiv A$ , akkor a háromszög derékszögű, azonban a feladat határozatlan, végtelen sok megoldása van.
Ugyanis az $A S$ meghosszabbítására felmérve $S O = \frac{1}{2} M S = \frac{1}{2} A S$ távolságot, az $O$ középpontú és $O A$ sugarú körbe írt derékszögű háromszögek mind megfelelnek, melyekben $A$ a derékszög csúcsa, az átfogó bármelyik átmérő.
Ha az $A M S ∢$ derékszög, akkor a feladatnak nem lehet megoldása.
(Szittyai D., Vajda J.)

II. A háromszög köré írt kör középpontja az Euler-féle

M S

egyenesen fekszik úgy, hogy

S O = \frac{1}{2} M S

(az

M

S

O

sorrendben). Az

O

vetülete

B C

-n

A_{1}

, a

B C

felezőpontja. Tudjuk azt, hogy

O A_{1} = \frac{1}{2} A M

. (L. pl. a 36. feladatot, a II. évf. 17. o.)
A szerkesztés lehetőségének szükséges és elégséges feltétele, hogy az

O

körül

O A

sugárral leírt kör a

B C

egyenest^{$^{*}$} két pontban messe, tehát

O A_{1} < O C

, ill.

\frac{1}{2} A M < A O

, vagyis

A M < 2 A O

, azaz

A M

a háromszög köré írt kör átmérőjénél kisebb tartozik lenni.

Az

A M S Δ

-ben:

\begin{matrix} A S^{2} = {\bar{A M}}^{2} + {\bar{M S}}^{2} - 2 A M \cdot M S cos \hat{A M S} . \end{matrix}

A M O Δ

-ben:

\begin{matrix} {\bar{A O}}^{2} = {\bar{A M}}^{2} + {(\frac{3}{2} M S)}^{2} - 2 A M \cdot \frac{3}{2} M S \cdot cos \hat{A M S} . \end{matrix}

Ezen két egyenletből

\begin{matrix} 3 {\bar{A S}}^{2} - 2 {\bar{A O}}^{2} = {\bar{A M}}^{2} - \frac{3}{2} {\bar{M S}}^{2} \end{matrix}

tehát

{\bar{A O}}^{2} = \frac{3}{2} {\bar{A S}}^{2} + \frac{3}{4} {\bar{M S}}^{2} - \frac{1}{2} {\bar{A M}}^{2}

.
Az

A M < 2 A O

, ill.

{\bar{A M}}^{2} < 4 {\bar{A O}}^{2}

feltétel eszerint

\begin{matrix} {\bar{A M}}^{2} < 2 {\bar{A S}}^{2} + {\bar{M S}}^{2} \end{matrix}

alakban írva, az

A M S Δ

oldalaira vonatkozik.^{$^{*}$}

Harsányi János, ág ev. g. VIII. o. Bp.

^{$^{*}$}

B C

tartója az

A_{1}

ponton át

A M

-re merőlegesen vont egyenes.

^{$^{*}$}Ezen feltétel mindig fennáll, ha az $A S M ∢ \leq 90^{\circ}$ .
Ha $A S M ∢ > 90^{\circ}$ , akkor ${\bar{A S}}^{2} + {\bar{M S}}^{2} < {\bar{A M}}^{2} < 2 {\bar{A S}}^{2} + {\bar{M S}}^{2}$ .

Most

\begin{matrix} {\bar{A M}}^{2} = {\bar{A S}}^{2} + {\bar{M S}}^{2} + 2 \bar{A S} \cdot \bar{M S} cos (180^{\circ} - A S M) < 2 {\bar{A S}}^{2} + {\bar{M S}}^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} A S < 2 M S cos (180^{\circ} - A S M) \end{matrix}

azaz:

A S

nagyobb, mint az

M S

vonaldarabnak az

A S

egyenesen való kétszeres vetülete.