Kezdőlap


Feladat:	1315. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1937/május, 285 - 286. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Transzverzálisok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1315. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $O E ⊥ B C$ és $A E' ⊥ B C$ , hasonlóan $O F ⊥ A C$ és $B F' ⊥ A C$ , továbbá $O G ⊥ A B$ és $C G' ⊥ A B$ .

Ismeretes tétel^{$^{*}$}:

\frac{O E}{A E'} + \frac{O F}{B F'} + \frac{O G}{C G'} = 1

.

Ha

\begin{matrix} \frac{O E}{A E'} = α, \frac{O F}{B F'} = β, \frac{O G}{C G'} = γ \end{matrix}

akkor, mivel

O A' : A A' = O E : A E'

\begin{matrix} O A' = \frac{O E}{A E'} \cdot A A' = α \cdot A A' . \end{matrix}

Hasonlóan

O B' = β \cdot B B'

és

O C' = γ \cdot C C'

.

Mármost, mivel

A A' \geq B B' \geq C C'

, nyilván

\begin{matrix} α \cdot A A' + β \cdot B B' + γ \cdot C C' \leq α \cdot A A' + β \cdot A A' + γ \cdot A A' \\ O A' + O B' + O C' \leq (α + β + γ) A A' . \end{matrix}

Minthogy

α + β + γ = 1

, következik:

O A' + O B' + O C' < A A' .

Q. e. d.

Az egyenlőségi jel csak akkor lehetséges, ha

A A' = B B' = C C' .

E. P.

^{$^{*}$} L. II. évf. 1. o.