Kezdőlap


Feladat:	1312. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh György , Csada Imre , Czinczenheim József , Gálfi János , Hajnal Miklós , Harsányi János , Herczeg Gy. , Holzer Pál , Hörcher János , ifj. Jankovich István , ifj. Seidl Gábor , Jánoshegyi F. , Kardos György , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lóránd Endre , Mandl Béla , Nagy Elemér , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Radovics György , Somogyi Antal , Tésy Gabriella , Vadas J.
Füzet:	1937/május, 282 - 283. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Feladat, Másodfokú függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1312. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Valamely függvénynek nincs szélső értéke, ha állandóan növekedik vagy fogy, tehát a differenciálhányadosa állandó előjelű, nem válik zérussá. Az adott esetben

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{(2 x - 6) (x^{2} + 4 x + λ) - (2 x + 4) (x^{2} - 6 x + 5)}{{(x^{2} + 4 x + λ)}^{2}} = \frac{10 x^{2} + 2 (λ - 5) x - 6 λ - 20}{{(x^{2} + 4 x + λ)}^{2}} \end{matrix}

\frac{d y}{d x} = y'

nevezője nem lehet negatív, úgyhogy előjele a számláló előjelével egyezik meg. A számláló

x

másodfokú függvénye; ez állandó előjelű és nem válik zérussá, ha a discriminánsa negatív, tehát ha

\begin{matrix} D \equiv 4 {(λ - 5)}^{2} + 40 (6 λ + 20) < 0, \\ D < 0, ha {(λ - 5)}^{2} + 10 (6 λ + 20) = λ^{2} + 50 λ + 225 = (λ + 45) (λ + 5) < 0. \end{matrix}

Ez bekövetkezik akkor, ha

- 45 < λ < - 5

.
Ezen feltételnek

λ = - 12

megfelel. Ebben az esetben

\begin{matrix} y' = \frac{10 x^{2} - 34 x + 50}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}} . \end{matrix}

A számlálóra nézve

D = 34^{2} - 2000 < 0

; a számláló az

x

oly másodfokú függvénye, mely

x

minden valós értékénél pozitív. Így

y' > 0

, az

y

függvény állandóan növekedik.

\begin{matrix} y \end{matrix}

Ebből következik, hogy az

y

függvény folytonossága két helyen megszűnik: az

x = - 6

és

x = + 2

helyeken. Növekedő

x

-ek irányában haladva ezen helyeken a függvény értéke

+ \infty

-né válik, úgy hogy ‐ pozitív

ε

-t tételezve fel ‐

\begin{matrix} \begin{matrix} {lim}_{}^{} y = + \infty, & ha x = - 6 - ε & és & ε \to 0 \\ {lim}_{}^{} y = - \infty, & ha x = - 6 + ε & ,, & ,, \\ {lim}_{}^{} y = - \infty, & ha x = 2 - ε & ,, & ,, \\ {lim}_{}^{} y = + \infty, & ha x = 2 + ε & ,, & ,, & . \end{matrix} \end{matrix}

A függvény görbének tehát három ága van: az első

- \infty

és

- 6

között, a második

- 6

és

+ 2

, a harmadik

+ 2

és

+ \infty

között. Az elsőben a függvény értéke növekedik

+ 1

-től

+ \infty

-ig, a másodikban

- \infty

-től

+ \infty

-ig, a harmadikban

- \infty

-től

+ 1

-ig. Ugyanis, ha

x \to \pm \infty

akkor

{lim}_{}^{} y = + 1

.
Eszerint az

y = 1

egyenes a görbe aszimptotája. Ugyancsak aszimptoták az

x = - 6

és

x = + 2

egyenesek is.

Hajnal Miklós (Izr. rg. VI. o. Bp.)