Kezdőlap


Feladat:	1311. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barna Tibor , Bodó Zalán , Donáth Géza , Fehér György , Frankl Otto , Gálfi János , Harsányi János , Jakab Károly , Kemény György , Krisztonosich Jenő , Lóránd Endre , Mandl Béla , Nagy Elemér , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Papp István , Pappert T. , Petheö T. , Radovics György , Sebestyén Gyula , Somogyi Antal , Taussig F. , Vajda József , Vas J. , Zubek P.
Füzet:	1937/május, 281 - 282. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	L'Hospital szabály, Gyökös függvények, Függvény határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1311. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Láttuk már (pl. az 1300. feladatban, ezen évf. 8. számában^{$^{*}$}), hogy ha $a > 0$ , akkor az

\begin{matrix} y = \sqrt[]{a x^{2} + b x + c}, ill. y^{2} - a x^{2} - b x - c = 0 \end{matrix}

hiperbola aszimptotáinak egyenlete:

y = \pm \sqrt[]{a} (x + \frac{b}{2 a})

.
Ezt most úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a

\begin{matrix} \sqrt[]{a x^{2} + b x + c} kifejezés értéke közeledik a \sqrt[]{a} (x + \frac{b}{2 a}) \end{matrix}

értékhez, ha

x \to + \infty

, ill. a

\begin{matrix} \sqrt[]{a x^{2} + b x + c} - \sqrt[]{a} (x + \frac{b}{2 a}) \end{matrix}

különbség határértéke zérus, ha

x \to + \infty

. Eszerint

\begin{matrix} \sqrt[]{x^{2} + 4 x + 1} = x + 2 + ε és \sqrt[]{4 x^{2} + 1} = 2 x + ε', \end{matrix}

ahol

ε

és

ε'

a zérushoz közelednek, ha

x \to + \infty

.
Minthogy

\begin{matrix} \sqrt[]{x^{2} + 2 x + 1} = x + 1, \end{matrix}

a szóbanforgó kifejezés értéke, ha

x

elég nagy,

\begin{matrix} x + 1 + x + 2 + ε - 2 x - ε' = 3 + ε - ε' . \end{matrix}

Ha már most

x \to + \infty

, akkor

ε \to 0

és

ε' \to 0

, tehát a kifejezés határértéke: 3.

Radovics György (Érseki rg. VII. o. Bp. II.)

^{$^{*}$}1937/4. 246. old. ‐ a szerk.