Kezdőlap


Feladat:	1309. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Apfel B. , Balogh György , Barna Tibor , Bluszt Ernő , Bodó Zalán , Csada Imre , Csáki Frigyes , Czinczenheim József , Donáth Géza , Fehér György , Frankl Otto , Gálfi János , Gállik István , Gilyén J. , Grosz László , Grünfeld Sándor , Halász Iván , Harsányi János , Herczeg I. , Holzer Pál , ifj. Puky Gyula , ifj. Seidl Gábor , Jakab Károly , Kardos Gy. , Kecskeméti I. , Kemény György , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Krumpholtz T. , Lóránd Endre , Major L. , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Német E. , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Papp István , Pappert T. , Petheő T. , Radovics György , Rappaport Sándor , Róth Pál , Salusinszky E. , Singer T. , Sommer György , Somogyi Antal , Stachó Endre , Tarnóczy Loránt , Taussig F. , Téssy Gabriella , Tóth Miklós , Vadas I. , Vajda József , Vas J. , Vásárhelyi Nagy Sándor , Zubek P.
Füzet:	1937/május, 280. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Mértani sorozat, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1309. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy háromszög oldalai mértani haladványt alkotnak, a haladvány hányadosa ‐ aszerint amint a legkisebb vagy legnagyobb oldalból indulunk ki ‐ az egységnél nagyobb vagy az egységnél kisebb; e két érték egymásnak reciprokja.
Feltehetjük tehát, hogy a haladvány hányadosa $q \geq 1$ . (A $q = 1$ határesetben szabályos háromszöggel van dolgunk). A háromszög oldalai: $a$ , $a q$ , $a q^{2}$ . Annak a feltétele, hogy ezen három szám valóban háromszög oldalainak mérőszáma legyen:

\begin{matrix} a q^{2} < a q + a ill. q^{2} < q + 1 vagyis q^{2} - q - 1 < 0. \end{matrix}

Ezen egyenlőtlenség ki van elégítve, ha

q

értéke a

\begin{matrix} q^{2} - q - 1 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei között foglal helyet.^{$^{*}$} Ezen gyökök ellenkező előjelűek. A pozitív gyök

\begin{matrix} q_{1} = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2} . \end{matrix}

Minthogy

q < q_{1}

, de az előbbiek szerint

q \geq 1

, a

q^{2} - q - 1 < 0

feltételt kielégítjük, ha

\begin{matrix} 1 \leq q \leq \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} . \end{matrix}

Azonban, amint láttuk,

q

felveheti az itt megállapított közben levő értékek reciprokjait. Mivel pedig

\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt[]{5} + 1} = \frac{2 (\sqrt[]{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}, \end{matrix}

nyilván érvényes:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} < q < \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} . \end{matrix}

Vásárhelyi Nagy Sándor (Kegyesrendi rg. VI. o. Sátoraljaújhely)

^{$^{*}$}

f (q) \equiv q^{2} - q - 1

q

-nak oly másodfokú függvénye, amelyben a négyzetes tag együtthatója pozitív és valós zérus helyei vannak. Az ilyen függvény a zérushelyek között negatív.