Kezdőlap


Feladat:	1307. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Apfel B. , Barna Tibor , Bluszt Ernő , Bodó Zalán , Bölcskei János , Csada Imre , Czinczenheim J. , Datner Pál , Donáth Géza , Fehér György , Frankl Otto , Gálfi János , Grosz László , Grünfeld Sándor , Hajnal Miklós , Harsányi János , Holzer Pál , ifj. Jankovich I. , ifj. Petricskó Miklós , Kardos Gy. , Kecskeméti I. , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lóránd Endre , Major L. , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Németh E. , Novák L. , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Papp I. , Radovics György , Rappaport Sándor , Sebestyén Gyula , Sommer György , Somogyi Antal , Szittyai Dezső , Vajda József
Füzet:	1937/május, 275 - 276. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Euler-Fermat-tételek, Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/március: 1307. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Kiindulunk abból, hogy

\begin{matrix} n^{18} - n^{12} - n^{8} + n^{2} = n^{7} (n^{11} - n) - n (n^{11} - n) = (n^{7} - n) (n^{11} - n) . \end{matrix}

A kis Fermat-tétel szerint, ha

p

prímszám és

n

tetszőleges egész szám, akkor

n^{p} - n

osztható

p

-vel. Eszerint

\begin{matrix} n^{7} - n osztható 7 -tel, n^{11} - n pedig 11 -gyel \end{matrix}

tehát szorzatuk osztható 77-tel.

Csada Imre (Korvin Mátyás g. VII. o. Mátyásföld)

II. Megoldás.

1^{\circ}

n^{7} - n = n (n^{6} - 1) = n (n^{3} - 1) (n^{3} + 1)

osztható 7-tel. Ha

n

a 7 többszöröse, az oszthatóság közvetlenül látható.
Ha

n

nem többszöröse 7-nek, akkor

\begin{matrix} n = 7 k \pm 1, n = 7 k \pm 2, n = 7 k \pm 3. \end{matrix}

n = 7 k + 1

n = 7 k + 2

n = 7 k - 3

esetekben

\begin{matrix} n^{3} = 7 M + 1, tehát n^{3} - 1 = 7 M \end{matrix}

^*.

n = 7 k - 1

n = 7 k - 2

n = 7 k + 3

esetekben

\begin{matrix} n^{3} = 7 M - 1, tehát n^{3} + 1 = 7 M . \end{matrix}

2^{\circ}

n^{11} - n = n (n^{10} - 1) = n (n^{5} - 1) (n^{5} + 1)

osztható 11-gyel. Ha

n

a 11 többszöröse, akkor az oszthatóság közvetlenül világos. Ha

n

nem többszöröse 11-nek, akkor

\begin{matrix} n = 11 k \pm 1, 11 k \pm 2, 11 k \pm 3, 11 k \pm 4, 11 k \pm 5. \end{matrix}

n = 11 k + 1

11 k - 2

11 k + 3

11 k + 4

11 k + 5

esetekben

\begin{matrix} n^{5} = 11 M + 1, tehát n^{5} - 1 = 11 M . \end{matrix}

n = 11 k - 1

11 k + 2

11 k - 3

11 k - 4

11 k - 5

esetekben

\begin{matrix} n^{5} = 11 M - 1, tehát n^{5} + 1 = 11 M . \end{matrix}

Marosán Zoltán (Kossuth Lajos rg. VII. o. Pestszenterzsébet)

^*T.i.

{(\pm 1)}^{3}

\pm

1; +

2^{3}

=+8, tehát +8-1 és

{(- 2)}^{3}

=-8, tehát -8+1;

{(+ 3)}^{3}

=27=28-1, tehát 27+1 és

{(- 3)}^{3}

=-27, tehát -27-1 lesz 7 többszöröse.

^* $2^{5}$ =32=33-1; $3^{5}$ =243=2 $\cdot$ $11^{2}$ +1; $4^{5}$ =1024=93 $\cdot$ 11+1; $5^{5}$ =3125=11 m+1.