Kezdőlap


Feladat:	1306. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Harsányi János , Pálos Peregrin , Vajda József
Füzet:	1937/április, 254. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1306. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $O A K$ , $O B L$ , $O C M$ háromszögek az $A$ , $B$ , $C$ csúcsaiknál derékszögűek. Ha $O H ⊥ [A B C]$ , akkor $O H$ merőleges az $A H$ , $B H$ , $C H$ -ra, vagyis $A H$ , $B H$ , $C H$ az $O A K$ , $O B L$ , $O C M$ derékszögű háromszögekben az $O K$ , $O L$ , $O M$ átfogókhoz tartozó magasságok és ezért

\begin{matrix} \bar{O H} \cdot \bar{O K} = {\bar{O A}}^{2}, \bar{O H} \cdot \bar{O L} = {\bar{O B}}^{2}, \bar{O H} \cdot \bar{O M} = {\bar{O C}}^{2} \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} O K = \frac{{\bar{O A}}^{2}}{O H}, O L = \frac{{\bar{O B}}^{2}}{O H}, O M = \frac{{\bar{O C}}^{2}}{O H} ... \end{matrix}

(1)

O K

O L

O M

ezen értékeit az

\begin{matrix} \frac{1}{O K} + \frac{1}{O L} + \frac{1}{O M} = \frac{1}{l} ... \end{matrix}

(2)

egyenletbe helyettesítjük, keletkezik:

\begin{matrix} O H (\frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}) = \frac{1}{l} ... \end{matrix}

(3)

Az 1259. feladatban láttuk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} = \frac{1}{O H^{2}}; \end{matrix}

ennek tekintetbevételével:

O H = l

,
azaz a 2) feltételt kielégítő

A B C

síkok oly gömb érintősíkjai, melynek középpontja

O

és sugara

l

. Ezen gömb az

A B C

síkok burkolója.

Pálos Peregrin (bencés rg. VIII. o. Pápa,)