Kezdőlap


Feladat:	1305. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	B. Major P. , Barna Tibor , Bencze József , Frankl Otto , Gálfi János , Harsányi János , Holzer Pál , Krisztonosich Jenő , Róth Pál , Szabó L. , Tésy Gabriella , Vajda József , Weisz Alfréd
Füzet:	1937/április, 253 - 254. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat, Párhuzamos szelőszakaszok tétele
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1305. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott körök középpontjai legyenek $A$ , $B$ ; metszéspontjaik $K$ és $K'$ . Húzzunk a $K$ pontban $K T$ érintőt pl. a $(B)$ körhöz; ezen érintőn $K$ a $B$ középpont vetülete a $K T$ -n, $A$ vetülete legyen $H$ . Kimutatjuk, hogy $H$ azon körön fekszik, melynek középpontja az $A B$ felezőpontja $O$ és keresztülmegy a $K$ , $K'$ pontokon.

Minthogy

A H

és

B K

merőlegesek

K T

-re,

A H ∥ B K

. Húzzunk

O

-pontból is merőlegest

K T

-re; ennek talppontja legyen

I

. Három párhuzamos egyenes két szelőjükön oly szeleteket létesít, melyeknek aránya egyenlő, azaz

\begin{matrix} H I : I K = A O : O B \end{matrix}

tehát

H I = I K

. Eszerint az

O I

, mely merőleges

A K

-ra, ezt felezi. Ebből következik:

O H - O K

, azaz a

H

pont azon körön fekszik, melynek középpontja

O

és keresztülmegy a

K

ponton.
Hasonlóan mutatható ki az

A

B

pontok többi vetületéről, a

K

ill.

K'

pontban húzott bármelyik érintőn, hogy az előbb meghatározott

(O)

körön feküsznek.

Gálfi János (Kossuth rg. VIII. o. Cegléd.)

II. Megoldás. Az

A H K

és

B K H

derékszögű háromszögekben

\begin{matrix} {\bar{A H}}^{2} = {\bar{A K}}^{2} - {\bar{H K}}^{2} és {\bar{B H}}^{2} = {\bar{B K}}^{2} + {\bar{H K}}^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} {\bar{A H}}^{2} + {\bar{B H}}^{2} = {\bar{A K}}^{2} + {\bar{B K}}^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} \end{matrix}

ahol

A K = r_{1}

és

B k = r_{2}

(A)

ill.

(B)

kör sugarai.
Az

A K B Δ

-ben

K O

súlyvonallal

\begin{matrix} {\bar{A K}}^{2} + {\bar{B K}}^{2} = 2 {\bar{K O}}^{2} + 2 {\bar{A O}}^{2} . \end{matrix}

Legyen

A B = 2 d

, tehát

\begin{matrix} r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = 2 {\bar{K O}}^{2} + 2 d^{2} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} {\bar{A H}}^{2} + {\bar{B H}}^{2} = 2 {\bar{K O}}^{2} + 2 d^{2} . \end{matrix}

Ezen összefüggés azonban éppen azt fejezi ki, hogy a

H

pont oly körön fekszik, melynek középpontja

O

és sugara

\begin{matrix} K O = \sqrt[]{\frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 d^{2}}{2}} . \end{matrix}