Kezdőlap


Feladat:	1302. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almássy György , B. Major Pál , Bálint Gy. , Barna Tibor , Bencze József , Bisseliches D. , Czinczenheim J. , Datner Pál , Donáth Géza , Farkas Imre , Frankl Otto , Gárdos Pál , Herczegh Gy. , Holzer Pál , Hörcher János , Krisztonosich Jenő , Lóránd Endre , Nagy Elemér , Nemes Ferenc , Németh Emil , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Popper T. , Radovics György , Sájermann J. , Schwarz János , Szele Gy. , Taussig F. , Vajda József , Weisz Alfréd
Füzet:	1937/április, 248 - 249. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengely körüli forgatás, Határozott integrál, Ellipszis egyenlete, Parabola egyenlete, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1302. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1) parabola, melynek főtengelye az $Y$ -tengely; e körül forgatva a parabolát, forgási paraboloidot kapunk.
A 2) ellipszis, melynek egyik főtengelye az $Y$ -tengely; e körül forgatva, forgási ellipszoidot kapunk.
A parabola az ellipszist az $x = 0$ , $y = + 4$ pontban érinti; ezenkívül még két ‐ az $Y$ -tengelyre nézve szimmetrikus pontban metszi. Ezekre nézve

\begin{matrix} 16 x^{2} + 25 {(- x^{2} + 4)}^{2} = 400, ill. x^{2} (25 x^{2} - 184) = 0. \end{matrix}

Itt

x^{2} = 0

jelzi, hogy az

x = 0

y = + 4

pontban érintkezik a két görbe.
A

P_{1}

P_{2}

metszéspontokat illetőleg

25 x^{2} - 184 = 0

\begin{matrix} x^{2} = \frac{184}{25}, x = \pm \frac{2}{25} \sqrt[]{46}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} y = - \frac{184}{25} + 4 = - \frac{84}{25} = - 3, 36. \end{matrix}

A szóbanforgó térfogat két részből áll: az egyik a paraboloidnak azon szelete, melyet a

P_{1}

és

P_{2}

ponton át, az

Y

-tengelyre merőlegesen fektetett sík szel le róla; a másik az ellipszoidnak azon kisebbik szelete, melyet ugyanazon sík vág le róla. Az előbbi rész térfogata, ha

x^{2}

-t a parabola egyenletéből fejezzük ki,

\begin{matrix} K_{1} = \int_{- 3, 36}^{+ 4} x^{2} π \cdot d y = π \int_{- 3, 36}^{4} (4 - y) d y = \\ = π {[4 y - \frac{y^{2}}{2}]}_{- 3, 36}^{4} = \\ = π (16 - 8 + 4 \cdot 3, 36 + \frac{3, 36^{2}}{2}) = \\ = π (8 + 13, 144 + 5, 6448) = 27, 0848 π . \end{matrix}

A második rész térfogata (ha

x^{2}

-t az ellipszis egyenletéből kifejezzük),

\begin{matrix} K_{2} = \int_{- 4}^{- 3, 36} x^{2} π d y = π \int_{3, 36}^{4} (25 - \frac{25}{16} y^{2}) d y = π {[25 y - \frac{25}{48} y^{3}]}_{3, 36}^{4} = \\ = π [100 - \frac{25}{48} 64 - 25 \cdot 3, 36 + \frac{25}{48} 3, 36^{3}] = \\ = π (100 - \frac{100}{3} - 84 + \frac{84}{48} \cdot 3, 36^{2}) = - π (- 17, 3333 + 3, 5 \cdot 5, 6448) = \\ = 2, 4235 π \\ K = K_{1} + K_{2} = 27, 0848 π + 2, 4235 π \sim 29, 51 π térfogategység. \end{matrix}

B. Major Pál (Ref. rg. VIII. o. Csurgó).