Kezdőlap


Feladat:	1300. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bencze József , Gálfi I. , Holzer Pál , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Nagy Elemér , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Radovics György , Vajda József
Füzet:	1937/április, 246 - 247. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Hiperbola egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1300. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szóbanforgó egyenlet megoldásának geometriai értelme az, hogy keressük az

\begin{matrix} 1) ... y = \sqrt[]{2 x^{2} + 2 x - m}, az m értékével változó görbének és az \\ 2) ... y = x - 2 szilárd egyenesnek közös pontjait. \end{matrix}

A 2) egyenes keresztülmegy az

X

-tengely

(2

0)

pontján és

45^{\circ}

-ú szög alatt hajlik az

X

-tengelyhez.

Az 1) görbe az

\begin{matrix} y^{2} = 2 x^{2} + 2 x - m ... \end{matrix}

(3)

hiperbolának az

X

-tengely feletti része. Ezen hiperbolának az

X

-tengely egyik szimmetriatengelye, amely valós tengely abban az esetben, ha a hiperbola metszi, azaz ha a

\begin{matrix} 2 x^{2} + 2 x - m = 0 ... \end{matrix}

(4)

egyenletnek valós gyökei vannak. E gyökök valósak, ha

\begin{matrix} 4 + 8 m \geq 0, ill. m \geq - \frac{1}{2} ... \end{matrix}

(5)

Vizsgáljuk tehát azon hiperbolákat, amelyekre nézve az 5) fennáll. A 3) egyenletet

\begin{matrix} 2 x^{2} + 2 x - y^{2} = m, ill. 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - y^{2} = m + \frac{1}{2} ... \end{matrix}

(6)

alakban írva, kiolvashatjuk, hogy a hiperbola középpontja ‐ az

m

bármely értéke mellett ‐ az

X

-tengelyen fekszik,

x = - \frac{1}{2}

y = 0

koordinátákhoz tartozik. (Az ábrán

C

Valamennyi hiperbolának közös aszimptotái vannak; ezek az

\begin{matrix} y = (x + \frac{1}{2}) \sqrt[]{2} és y = - (x + \frac{1}{2}) \sqrt[]{2} ... \end{matrix}

(7)

egyenesek. Ha

m = - \frac{1}{2}

, akkor a hiperbola éppen a 7) alatti egyenespárrá fajul.

A hiperboláknak azonban az

X

-tengelyen változó csúcspontjuk ‐ és ennek megfelelőleg változó tengelyhosszuk ‐ van, tehát változik az alakjuk. A csúcspontok koordinátáit a 4) egyenlet gyökei szolgáltatják. Ezeknek értéke:

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (- 1 \pm \sqrt[]{1 + 2 m}) ... \end{matrix}

(8)

y = x - 2

egyenes a hiperbola azon ágának

X

tengely feletti részét metszi, amelynek csúcspontja a középponttól jobbra van, tehát abscissája

\begin{matrix} \frac{1}{2} (- 1 + \sqrt[]{1 + 2 m}) . \end{matrix}

Mindaddig, amíg ezen abscissa

< 2

, az egyenes nem metszheti a hiperbola előbb meghatározott részét. Metszéspontjuk akkor van,
ha

\frac{1}{2} (- 1 + \sqrt[]{1 + 2 m}) ≧ 2

, tehát ha

m \geq 12

. (L. az

1275

-ben).

m = 12

mellett a hiperbola csúcspontja az

(x = 2

y = 0)

pont. Az egyenes itt metszi a görbét.

m > 12

, a metszéspont

x > 2

abscissához tartozik.

Krisztonosich Jenő (Szent László rg. VII. o. Bp. X.)

Kiegészítés. Ha

- \frac{1}{2} \leq m < 12

, akkor a 2) egyenes a 6) hiperbola mindkét ágát az

X

-tengely alatt egy-egy pontban metszi.
Ha

m > 12

, akkor csak az egyik metszéspont van az

X

-tengely alatt (a hiperbola másik ágán).
Ha

m < - \frac{1}{2}

, ekkor az

X

tengely a hiperbola képzetes tengelye; a valós tengely az

X

-tengelyre merőleges az

(x = - \frac{1}{2}

y = 0)

pontban. Ezen hiperbolának egyik ágát, az

X

tengely alattit, metszi a 2) egyenes két pontban.