Kezdőlap


Feladat:	1299. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna Tibor , Bencze József , Bluszt Ernő , Czinczenheim József , Farkas Imre , Fehér György , Gálfi János , Harsányi János , Holzer Pál , ifj. Puky Gy. , ifj. Seidl Gábor , Krisztonovich Jenő , Lóránd Endre , Mandl Béla , Nagy Elemér , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Radovics György , Schwarz János , Vajda József
Füzet:	1937/április, 245. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Vetítések, Hossz, kerület, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1299. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kör szilárd $A B$ átmérőjének és a változó $M N$ húr metszéspontja legyen $I$ , tehát $A I = x$ . Minthogy az $A M B ∢$ derékszög, az $A M B Δ$ átfogójára, $A B$ -re bocsátott magasság $M I$ , nyilván áll:

\begin{matrix} {\bar{M I}}^{2} = A I \cdot I B = x (2 R - x), ahol 0 < x < 2 R . \end{matrix}

A téglalap kerülete

2 k = 2 A I + 4 M I

, tehát

\begin{matrix} k = x + 2 \sqrt[]{x (2 R - x)} ... \end{matrix}

(1)

Ezen összefüggésből következik, hogy

x < k

tartozik lenni. Hogy az 1) egyenletet racionális alakra hozzuk:

\begin{matrix} {(k - x)}^{2} = 4 x (2 R - x), ill. f (x) \equiv 5 x^{2} - 2 (k + 4 R) x + k^{2} = 0 ... \end{matrix}

(2)

Innen

\begin{matrix} x = \frac{k + 4 R \pm \sqrt[]{{(k + 4 R)}^{2} - 5 k^{2}}}{5} \end{matrix}

A gyökök valósak, ha

{(k + 4 R)}^{2} - 5 k^{2} \geq 0 ill. k + 4 R \geq k \sqrt[]{5}

vagy

\begin{matrix} k \leq \frac{4 R}{\sqrt[]{5} - 1} = R (\sqrt[]{5} + 1) . \end{matrix}

Ha a gyökök valósak, akkor pozitívek is, mert szorzatuk és összegük is pozitív. Amint láttuk, az első követelmény, hogy

0

és

2 R

között legyenek. Ennek megfelelnek, mert

\begin{matrix} x (2 R - x) = \frac{{(k - x)}^{2}}{4} > 0 \end{matrix}

Meg kell vizsgálnunk, mikor van kielégítve az

x < k

feltétel? Ezen célból vegyük figyelembe

f (k)

és

f (0)

előjelét

\begin{matrix} f (k) = 4 k (k - 2 R), f (0) = k^{2} > 0. \end{matrix}

k < 2 R

, akkor

f (k) < 0

. Ezen esetben a 2) egyenlet egyik gyöke van

0

és

k

között, tehát egy megoldás van. Ha

k > 2 R

, akkor

f (k) > 0

. Minthogy most a gyökök összegének fele

\begin{matrix} \frac{k + 4 R}{5} < \frac{k + 2 k}{5} < k, \end{matrix}

mindakét gyök

0

és

k

között van; tehát mindakét gyök megfelel, hacsak

\begin{matrix} 2 R < k < R (\sqrt[]{5} + 1) \end{matrix}

k = 0

esetében csak

x = 0

felel meg. Az

I

pont

A

-ba esik.

k = 2 R

,,

x_{2} = \frac{2 R}{5}

x_{1} = 2 R

. Utóbbi esetben

I

B

-be kerül. Ha

\begin{matrix} k = R (\sqrt[]{5} + 1), akkor x_{1} = x_{2} = \frac{5 + \sqrt[]{5}}{5} R . \end{matrix}

Mandl Béla (Zrínyi Miklós rg. VII. o. Bp. VIII.)