Feladat: 1298. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Barna Tibor ,  Bencze József ,  Bölcskei János ,  Datner Pál ,  Fehér György ,  Frankl Otto ,  Gárdos Pál ,  Harsányi János ,  Holzer Pál ,  ifj. Puky Gy. ,  Lóránd Endre ,  Oroszhegyi Szabó Lajos. ,  Pálos Peregrin ,  Papp István ,  Sájermann János ,  Sebestyén Gyula ,  Szűcsi István ,  Tarnóczy Loránt ,  Vajda I. 
Füzet: 1937/április, 244. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/február: 1298. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 5 pengősök száma mindegyik erszényben legyen p, az 1 pengősök száma az egyikben r1 a másikban r2.
Hogy az első erszényhez nyúlunk, annak valószínűsége 12; hogy ebből egy 5 pengőst húzunk ki, annak valószínűsége pp+r1. Minthogy itt két, egymástól független esemény együttes bekövetkezéséről van szó, ennek valószínűsége: 12pp+r1.
Hogy a második erszényhez nyúlunk és ebből veszünk ki egy 5 pengőst, annak valószínsége: 12pp+r2.
Mivel vagy az elsőből, vagy a másodikból húzunk ki egy pénzdarabot, annak valószínűsége, hogy 5 pengőst húzunk ki:

v=12pp+r1+12pp+r2=p2(1p+r1+1p+r2)=p22p+r1+r2(p+r1)(p+r2).

Ha az összes pénzdarabokat egy erszénybe tesszük, ebben 2p+r1+r2 pénzdarab lesz, köztük 2p darab 5 pengős. Hogy ezen erszényből egy 5 pengőst vesszünk ki, annak valószínűsége
v'=2p2p+r1+r2.

Eszerint azt kell kimutatnunk, hogy v>v', azaz
p22p+r1+r2(p+r1)(p+r2)>2p2p+r1+r2ill.(2p+r1+r2)2>4(p+r1)(p+r2).

Ez azonban igaz; mert ha egyszerűség kedvéért
p+r1=a,p+r2=b,akkor(a+b)2>4ab.
Ugyanis
(a+b)2-4ab=(a-b)2>0,
tekintettel arra, hogy r1r2  ill. ab.
 
Gárdos Pál (Bólyai r. VIII. o. Bp. V.)
 

 

Jegyzet. 10. Ha r1=r2, akkor a=b és v=v'.
20. Egyik megoldás szerzője megjegyzi, hogy bárki nyúl az erszénybe, biztosan 5 pengőst húz. Ezzel kapcsolatban kiemeljük, hogy ‐ amennyiben nincs külön megállapítás ‐ feltételezzük, miszerint az 1 ill. 5 pengősök húzása egyenlő valószínűséggel bír; tapogatózás nincs megengedve.