Kezdőlap


Feladat:	1296. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna Tibor , Demény Jolán , Donáth Géza , Fonó András , Frankl Otto , Gálfi János , Grünfeld Sándor , Harsányi János , Hörcher János , ifj. Jankovich I. , ifj. Puky Gy. , ifj. Seidl Gábor , Krisztonosich Jenő , Lóránd Endre , Nádas J. , Nagy Elemér , Németh E. , Oroszhegyi Szabó Lajos , Pálos Peregrin , Petheő T. , Radovics György , Rusznák I. , Sájermann János , Sommer György , Szelei Gy. , Szűcsi István , Tarnóczy Loránt , Taussig F. , Tésy Gabriella , Törös Anna , Vas I.
Füzet:	1937/április, 242. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Négyzetszámok összege, Prímtényezős felbontás, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1296. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a keresett számok $x$ és $y$ , akkor

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 148392 = 2^{3} \cdot 9^{2} \cdot 229, \end{matrix}

ahol

229

törzsszám.

x

és

y

megegyező paritásúak. Azonban nem lehetnek páratlanok, mert két páratlan szám négyzetének összege csak

2^{1}

-el osztható,

2^{2}

-ével nem. Tehát mindakettő páros, de nem lehet mindakettő

2^{2}

-ének többszöröse, mert négyzetük összege nem osztható

2^{4}

-vel. De az sem lehet, hogy az egyik legyen

2^{2}

, a másik

2^{1}

többszöröse, mert ha így lenne, akkor négyzetük összege

2^{2}

-nek lenne többszöröse és nem

2^{3}

-nak.
Ha

x

és

y

3

-mal relatív prím, akkor négyzetük összege

3 m + 2

alakú szám lenne. Kell tehát, hogy úgy

x

, mint

y

egyik törzstényezője

3

legyen. Mivel pedig

\begin{matrix} {(\frac{x}{3})}^{2} + {(\frac{y}{3})}^{2} = 9 m, \end{matrix}

\frac{x}{3}

és

\frac{y}{3}

is többszöröse

3

-nak, tehát

x

és

y

többszörösei

9

-nek. Eszerint

\begin{matrix} x = 2 \cdot 9 a és y = 2 \cdot 9 b, a^{2} + b^{2} = 2 \cdot 229 = 458, \end{matrix}

ahol

a

és

b

páratlan, relatív prímszámok. Páratlan számok négyzetében az egyesek helyén csak

1

5

9

állhat; minthogy két ilyen négyzetszám összegében az egyesek helyén

8

áll, mindakét négyzetszámban az egyesek helyén

9

áll, tehát

a

és

b

egyesei

3

vagy

7

.
Azonban

a^{2} < 458

és

b^{2} < 458

, így csak

3^{2} = 9

13^{2} = 169

7^{2} = 49

és

17^{2} = 289

jöhetnek figyelembe.

(23^{2} > 458)

. Valóban

17^{2} + 13^{2} = 458

.
A keresett számok:

2 \cdot 9 \cdot 13 = 234

és

2 \cdot 9 \cdot 17 = 306

Sommer György és Grünfeld Sándor (Áll. Dobó István r. VI. o. Eger).