Kezdőlap


Feladat:	1295. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Almássy György , Bálint T. , Balogh György , Barna Tibor , Bencze József , Bluszt Ernő , Bölcskei János , Cseh Sándor , Czinczenheim József , Datner Pál , Demény Jolán , Donáth Géza , Fehér György , Frankl Ottó , Gálfi János , Gállik István , Gárdos Pál , Gilyén J. , Grosz László , Hajnal Miklós , Halász Iván , Harsányi János , Holzer Pál , Hörcher János , ifj. Jankovich I. , ifj. Puky Gy. , ifj. Seidl Gábor , Jánoshegyi F. , Koch Irmgard , Krisztonosich Jenő , Krumpholtz T. , Lóránd Endre , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Morvay Sándor , Nádas J. , Nagy Elemér , Németh E. , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Papp István , Pappert T. , Petheő T. , Radovics György , Rappaport Sándor , Sájermann János , Schwarz János , Sebestyén Gyula , Siklós I. , Sommer György , Stachó Endre , Szél György , Szelei Gy. , Szerényi László , Szittyai Dezső , Szűcsi István , Tarnóczy Loránt , Taussig F. , Tésy Gabriella , Tóth Miklós , Tölösi Márta , Törös Anna , Vajda József , Varga Irén , Vas J. , Vásárhelyi Nagy Sándor , Weisz Alfréd
Füzet:	1937/április, 241 - 242. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1295. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ismeretes, hogy $a^{n} - b^{n} = (a - b) f (a, b)$ , ahol $f (a, b)$ az $a$ és $b$ racionális egész függvénye.
Ha tehát $a = 7^{4}$ és $b = 4^{4}$ , akkor

\begin{matrix} 7^{4 n} - 4^{4 n} = M (7^{4} - 4^{4}), \end{matrix}

ahol

M

egész szám. Azonban

\begin{matrix} 7^{4} - 4^{4} = (7^{2} + 4^{2}) (7^{2} - 4^{2}) = 65 m \end{matrix}

azaz

7^{4} - 4^{4}

65

többszöröse. Tehát

\begin{matrix} 7^{4 n} - 4^{4 n} = M' \cdot 65. \end{matrix}

Demény Jolán és Tőrös Anna (Érseki leányg. VII. o. Esztergom).

II. Megoldás. Amint láttuk az előbb,

7^{4} - 4^{4}

osztható

65

-tel; tehát a tétel igaz, ha

n = 1

.
Ha

n = 2

7^{8} - 4^{8} = (7^{4} + 4^{4}) (7^{4} - 4^{4})

, tehát szintén osztható

65

-tel.
Tegyük fel, hogy a tétel igaz tetszőleges

n

-re, azaz

\begin{matrix} 7^{4 n} - 4^{4 n} = m \cdot 65. \end{matrix}

Ekkor:

\begin{matrix} 7^{4 (n + 1)} - 4^{4 (n + 1)} = 7^{4} \cdot 7^{4 n} - 4^{4} \cdot 4^{4 n} = \\ 7^{4} (m \cdot 65 + 4^{4 n}) - 4^{4} \cdot 4^{n} = 7^{4} \cdot m \cdot 65 + (7^{4} - 4^{4}) 4^{4 n} . \end{matrix}

Amint látjuk, utóbbi kifejezés mindegyik tagja

65

többszöröse; a tétel tehát igaz

n + 1

-re is.
Minthogy a tétel igaz, ha

n = 1, n = 2 ...,

igaz általában is.
Szél György (Érseki rg. VII. o. Bp. II).