Kezdőlap


Feladat:	1294. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barna Tibor , Czinczenheim József , Donáth Géza , Farkas Imre , Frankl Otto , Harsányi János , Holzer Pál , Királyhidi Gy. , Kolostori J. , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Nagy Elemér , Pálos Peregrin , Petheő T. , Schwarz János , Tésy Gabriella , Vajda József
Füzet:	1937/március, 216 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Egyenes körkúpok, Térfogat, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1294. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgálnunk kell azon gömböket, melyeknek középpontja a kúp tengelyén fekszik és a kúp palástját, helyesebben az adatok által meghatározott kúpfelületet (a testen kívül is) érintik.

Ezen gömbök, helyzetre és nagyságra nézve, két határ között változnak. Az egyik határgömb a kúpfelületet és a kúp alapját kívülről érintő gömb,

G_{1}

. A szóbanforgó gömbszelet magassága

x = 0

, térfogata

y = 0

. A másik határgömb a kúpba beírt gömb,

G_{2}

. A gömbszelet ekkor az egész gömb, magassága a

G_{2}

átmérője:

x = 2 ϱ_{2}

, térfogata

y = \frac{4 ϱ_{2}^{3} π}{3}

.
E két határ közé eső tetszőleges

G

gömb sugara legyen

ϱ

, középpontja

O

, a kúpon belül eső gömbszelet magassága

x = D E

és a köbtartalma

\begin{matrix} y = \frac{x^{2} π}{3} (3 ϱ - x) . \end{matrix}

Már most

ϱ

-t is, mint

x

függvényét fejezzük ki. Ábránk szerint

\begin{matrix} A F O Δ \sim A B D Δ és így \\ O F : A O = B D : A B . \end{matrix}

Itt

\begin{matrix} O F = ϱ, B D = r = 8; \\ A B = \sqrt[]{m^{2} + r^{2}} = \sqrt[]{225 + 64} = 17. \\ A O = A D + D O = m + (E O - E D) = m + ϱ - x = 15 + ϱ - x . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} ϱ : (15 + ϱ - x) = 8 : 17 ill. ϱ : (15 - x) = 8 : 9 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} ϱ = \frac{8 (15 - x)}{9} . \end{matrix}

x = 0, ϱ_{1} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}

G_{1}

gömb sugara.
Ha

x = 2 ϱ_{2}

, akkor

ϱ_{2} = \frac{120}{125} = \frac{24}{5} = 4, 8

. Ez a

G_{2}

gömb sugara. Tehát

x

értéke változik a

0 \leq x \leq 9, 6

intervallumban és itt kell vizsgálnunk az

\begin{matrix} y = \frac{x^{2} π}{3} (\frac{120 - 8 x}{3} - x) = \frac{π}{9} (- 11 x^{3} + 120 x^{2}) \end{matrix}

függvény változását. Képezzük első differenciálhányadosát:

\begin{matrix} y' = \frac{π}{9} (- 33 x^{2} + 240 x) = \frac{π}{3} x (- 11 x + 80) \end{matrix}

y' = 0

, ha

x = 0

. A függvénygörbét itt az

X

-tengely érinti.¹

y' > 0, ha 0 < x < \frac{80}{11} és y' < 0, ha x > \frac{80}{11}

. Ez annyit jelent, hogy a függvény, azaz a gömbszelet köbtartalma növekedik, amíg

x

növekedik

0

-tól

\frac{80}{11}

-ig, azután csökken, miközben

x

növekedik

\frac{80}{11}

-től

\frac{48}{5} = 9, 6

-ig. Ha

x = \frac{80}{11}

, akkor a függvénynek maximuma van.
A függvény nehány nevezetesebb értékét feltüntető táblázat:

\begin{matrix} \begin{matrix} 40 & 24 & 80 & 48 \\ x & 0 \\ \bar{11} & \bar{5} & \bar{11} & \bar{5} \\ y & 0 & ↗ & 117, 55 π & 185, 1 π & ↗ & 235, 1 π & ↘ & 147, 5 π \end{matrix} \end{matrix}

Frankl Ottó (Izr. rg. VIII. o. Bp.).

NB. A gömbszelet félgömb, ha

x = ϱ = \frac{120}{17}

.
Ezen érték közel van az

x = \frac{80}{11}

-hez, ennél valamivel kisebb, tehát a gömbszelet maximuma esetén valamivel nagyobb egy félgömbnél.

Jegyzet. Ha csak azokat a gömböket vizsgáljuk, amelyek az elhatárolt kúp palástját, a kúptesten belül érintik, akkor a nagyobbik határgömb sugara a

B

pontban

A B

-re merőleges. Ennek nagysága

ϱ = \frac{136}{15}

. Ebben az esetben a

ϱ

értéke

\frac{136}{15} = 9 \frac{1}{15}

-től csökken

ϱ_{2} = \frac{24}{5} = 4, 8

-ig, míg

x

növekedik

\frac{72}{15} = 4, 8

-től

\frac{48}{5} = 9, 6

-ig. A gömbszelet köbtartalma ezen közben először növekedik

185, 1 π

-től a már megadott maximumig, azután csökken.

Az 1291. feladat megoldását a következő számban hozzuk.

¹A görbének alsó tetőpontja! Az alsó- és felső tetőpont közötti tengelymenti távolságot az inflexiós pont felezi, az

x = \frac{40}{11}

helyen.