Kezdőlap


Feladat:	1292. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barna Tibor , Czinczenheim József , Frankl Otto , Harsányi János , Holzer Pál , Komlós János , Krisztonovich Jenő , Lóránd Endre , Papp I. , Schwarz János , Sebestyén Gyula , Vajda József
Füzet:	1937/március, 214 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középponti és kerületi szögek, Simson-egyenes, Körülírt kör, Húrnégyszögek, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1292. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az $A B C Δ$ köré írt kör valamely $M$ pontjából állítsunk merőlegeseket a háromszög oldalaira; ha ezeknek talppontjai $P$ , $Q$ , $R$ , akkor ezek egy egyenesen, az $M$ ponthoz tartozó Simson-egyenesen feküsznek.
Ha már most egy ilyen egyenes irányra nézve van megadva, meg kell határoznunk az $A B C Δ$ köré írt körön a megfelelő $M$ pontot.
Az adott irányt jelölje $A A'$ . Az $A'$ pontból az $A$ -val szembenfekvő $B C$ oldalra állított merőleges a háromszög köré írt kört a keresett $M$ pontban metszi.

M A' ⊥ B C

és

B C

-t a

P

pontban metszi. Legyen továbbá

M Q ⊥ A C

. Ekkor

P

és

Q

már meghatározzák az

M

ponthoz tartozó Simson-egyenest; csak azt kell kimutatnunk, hogy

P Q ∥ A' A

.
Az

M C P Q

idom az

M C

átmérő fölött szerkesztett körben húrnégyszög, mert

M P C ∢ = M Q C ∢ = 90^{\circ}

. Ebből következik, hogy

\begin{matrix} M C Q ∢ = M P Q ∢, \end{matrix}

mint ugyanazon íven álló kerületi szögek.
Másrészt az

A B C Δ

köré írt körben egyenlő kerületi szögek

M C Q ∢ \equiv M C A ∢

és

M A' A ∢

.
Eszerint

\begin{matrix} M P Q ∢ = M A' A ∢ és így P Q ∥ A' A . Q. e. d. \end{matrix}

Czinczenheim József (Izr. rg. VIII. o. Debrecen).

Jegyzet. Önkényesnek tűnhetik fel, hogy a Simson-egyenes irányát olyannak vettük fel, hogy azzal

A

-ból párhuzamosat vonva,

A A'

-t, ez a

\hat{B C}

ívet

B

és

C

között metszi.
Ha

A A'

olyan irányú lenne, hogy

A'

a körön

A

és

B

, vagy

A

és

C

közé esnék, akkor a bizonyítás nem olyan egyszerű, mint a felvett esetben. Azonban az utóbb említett esetekben

A A'

-vel párhuzamost vonhatunk, vagy

B

-ből vagy

C

-ből és akkor ismét azon bizonyítási módot használhatjuk, amelyet láttunk.

II. Megoldás.

A megadott irányú

s_{0}

egyesnek az

A B C Δ

-nek

B C

ill

A B

oldalával való metszéspontja legyen

K_{0}

, ill.

M_{0}

. Ezen pontokban állítsunk merőlegest a háromszög illető oldalára; e két merőleges metszéspontja legyen

P_{0}

. Ha most a

B P_{0}

egyenes bármely

P

pontjából merőlegest állítunk a

B C

, ill.

A B

oldalra ‐

K

, ill.

M

talpponttal ‐ akkor

\begin{matrix} B K_{0} P_{0} Δ \sim B K P Δ és B M_{0} P_{0} Δ \sim B M P Δ \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} K_{0} P_{0} : K P = B P_{0} : B P \end{matrix}

és

\begin{matrix} M_{0} P_{0} : M P = B P_{0} : B P \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} K_{0} P_{0} : K P = M_{0} P_{0} : M P . \end{matrix}

Eszerint

K_{0} M_{0} P_{0} Δ \sim K M P Δ

és ennek következtében

K M \equiv s ∥ K_{0} M_{0} \equiv s_{0}

.
Ha

P

pont az

A B C Δ

köré írt körön fekszik, akkor

s

P

ponthoz tartozó Simson-egyenes és párhuzamos a megadott irányú

s_{0}

egyenessel.

Komlós János (Gr. Széchenyi István gyakorló r. VII. o. Pécs).

III. Megoldás. Az

A B C Δ

köré írt kör tetszőleges pontja legyen

M

; az ehhez tartozó Simson-egyenes

s

, melyet meghatároznak az

M

pontnak a

B C

ill.

A B

oldalon levő vetületei,

P

ill.

R

. Az

M

pontnak a háromszög oldalaira vonatkozó szimmetrikus pontjai

M_{1}

M_{2}

M_{3}

egy

s_{0}

egyenesen feküsznek, amely párhuzamos az

s

egyenessel.

Legyen

H

A B C Δ

magassági pontja. Ismeretes,¹ hogy az

M

ponthoz tartozó Simson egyenes

(s)

felezi az

M H

távolságot (a

K

pontban). Ebből következik, hogy

s_{0}

keresztülmegy a

H

ponton.
A

H

pontnak a háromszög oldalaira vonatkozó szimmetrikus pontjai a háromszög köré írt körön feküsznek; a

H

pontnak a

B C

oldalra vonatkozó szimmetrikus pontja legyen

H_{a}

. Az

s_{0}

egyenesnek és a

B C

oldalnak

L

metszéspontját kössük össze az

M

, ill.

H_{a}

ponttal. Ekkor a

H L H_{a}

és

M L M_{1}

egyenlőszárú háromszögekben a

B C

egyenes felezi az

L

csúcsnál fekvő szögeket;² kell tehát, hogy

M

L

H_{a}

egy egyenesen feküdjenek, azaz: az

s_{0}

egyenesnek a

B C

-re vonatkozó szimmetrikusa keresztül megy az

M

ponton.³
Ezek alapján a szerkesztés a következő: az adott irányban a háromszög

H

magassági pontján keresztül húzzuk az

s_{0}

egyenest; ennek a háromszög bármely oldalára vonatkozó szimmetrikusa, melyet a

H

pontnak az illető oldalra vonatkozó tükörképe határoz meg, a kört még azon

M

pontban metszi, amelyhez tartozó Simson-egyenes,

s ∥ s_{0}

Lóránd Endre (Br. Kemény Zsigmond r. VIII. o. Bp.)

¹L. pl. Rátz L. Matematikai Gyakorlókönyv, II. r. 81. o. 561. feladat.

² $B C$ egyenes közös szimmetriatengelye a két háromszögnek.

³Ugyanez áll az $s_{0}$ egyenesnek a többi oldalakra vonatkozó szimmetrikusaira is.