A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Induljunk ki az négyzet valamely csúcsából, pl. az -ból. Ha a négyzetbe írt egyenlőoldalú háromszög csúcsa, a másik két csúcs az átlóra nézve szimmetrikus helyzetű úgy, hogy az egyik csúcs a , a másik a oldalon fekszik és Ezért és : az egyenlőoldalú.
Ha már most minden csúcsból oly egyeneseket húzunk, amelyek a csúcsban találkozó oldalakkal -ú szögeket zárnak be, az oldalon az , , a oldalon a , , a oldalon a , és a oldalon a , pontokhoz jutunk. Már most mozogjon a pont az oldalon és vizsgáljuk, hol helyezkednek a négyzetbe írt egyenlőoldalú háromszög , csúcsai? Amíg az közön fut végig, a pont a oldalon a közön, az csúcs a oldalon a közön halad végig. Ha az közön, akkor a , a közön, ha pedig az közön, akkor a és a közön fut végig. Hasonlóan áll a dolog, ha a négyzet többi oldalán fut végig. A csúcsai közül kettő mindig a négyzet két szembefekvő oldalán helyezkedik el.
Vegyük azon esetet, amidőn az köznek valamely pontja, még pedig legyen ez először az pont, az ill. felezőpontja. A szóbanforgó egyenlőoldalú háromszög másik két csúcsának, - és -nak szimmetrikusaknak kell lenniük az -t merőlegesen felező egyenesre nézve, tehát , azaz az -ből kiinduló szabályos háromszög oldalának a négyzet oldalával kell egyenlőnek lennie. felezőpontja legyen . Ekkor az oldalú szabályos háromszög magassága, tehát . Ha most az köz tetszőleges pontja és az onnan kiinduló szabályos háromszög másik két csúcsa és , akkor felezőpontja ugyancsak az -t merőlegesen felező egyenesen fekszik. Legyen ez ; kimutatjuk, hogy . Húzzunk az ponton keresztül -vel párhuzamosat, -t; . Mivel és , nyilván és így | | és innen | |
Eszerint a változó szabályos háromszög oldala, melynek csúcsa az közön van, keresztülmegy a szilárd ponton. Ebből tehát adódik a szerkesztés: 1) Ha az közben van, a -re az pontban merőlegest állítunk és így megkapjuk a , csúcsokat. A négyzet mindegyik oldalának felezőpontjához tartozik egy pont úgy, hogy , , , -es ezen pont a négyzetnek -n áthaladó szimmetriatengelyén fekszik. 2) Ha az közben van, akkor meghatározza a -n az pontot és ennek megfelelőleg kapjuk -t a közben. 3) Ha az közben van, akkor határozza meg a -n a pontot és ennek megfelelőleg az pontot a közben.
Harsányi János (ág. ev. g. VIII. o. Bp.) Jegyzet. A feladat eredeti szövegében sajtóhibával ,,kerületi pont'' helyett ,,területi pont'' állott. Utóbbi szövegezés mellett a szerkesztés vizsgálata jelentékenyen terjedelmesebb; minthogy a feladat kitűzője is csak ,,kerületi'' pontokra gondolt, most az előadottakra szorítkozunk, jóllehet a közölt megoldás szerzője a sajtóhibás szövegnek is megfelelőleg dolgozott.
II. Megoldás. Az előbbi megoldás bevezetésében foglaltakat szem előtt tartva, legyen az oldal valamely pontja az közön; ekkor a a , az a köz valamely pontja lesz. Ha a -pontot -al elforgatjuk körül ‐ a pozitív irányban ‐ akkor pont az -be esik; ha a -oldalt körül -kal elforgatjuk, akkor a oldal pontjának a oldal pontjába kell esnie.
A szerkesztés ezen alapon a következő: sugárral kört szerkesztünk és ezen kijelöljük az pontot úgy, hogy legyen. Az pontban a körhöz érintőt húzunk; ezen érintő helyzetét veszi fel a egyenes, ha körül -kal elforgattuk, amikor is az -be kerül. Ezen érintő a oldalt az pontban metszi úgy, hogy lesz a -ből kiinduló, a négyzetbe írt szab. háromszög oldala. A sugárral -ből szerkesztett kör -t a pontban metszi. Minthogy a és -os forgatással kerül a helyzetébe, nyilván és így a egyenlőoldalú.
Tésy Gabriella (Szent Margit leányg. VIII. o. Bp. XI.) Az pont távolsága a oldaltól . Eszerint Vegyük -nek az -n, -re szimmetrikus pontját. Az ehhez tartozó szab. háromszög a -gel szimmetrikus az -ra nézve; kell tehát, hogy és az ugyanazon pontján menjenek keresztül.Két oldal és a nagyobbikkal szemben fekvő szög egyenlő |
|