Kezdőlap


Feladat:	1290. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Almássy György , Bálint Gy. , Barna Tibor , Bernáth M. , Bluszt Ernő , Czinczenheim József , Donáth Géza , Farkas Imre , Frankl Otto , Földesi Tamás , Gerő B. , Gombos S. , Grosz László , Harsányi János , Herczeg Gy. , Holzer Pál , Hörcher János , ifj. Jankovich I. , ifj. Puky Gy. , ifj. Seidl Gábor , Jakab Károly , Jánoshegyi F. , Joó Endre , Kádár Géza , Karády P. , Kolostori J. , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lóránd Endre , Major L. , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Németh Emil , Németh Endre , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Papp I. , Pappert P. , Pethő T. , Petricskó Miklós , Radovics György , Rappaport S. , Schläffer Ödön , Sebestyén Gyula , Somogyi Antal , Steiner E. , Szerényi László , Szűcs F. , Szűcsi István , Tarnóczy Loránt , Taussig F. , Tegző J. , Tornai Jenő , Tölösi Márta , Vadas J. , Varga Irén , Varga József , Weisz Alfréd , Zubek P.
Füzet:	1937/március, 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koszinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat, Trigonometrikus egyenletek, Háromszög területe
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1290. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A cosinus-tétel szerint

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α, \\ b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos β, \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos γ . \end{matrix}

Ezen három egyenlet megfelelő tagjainak összeadása és összevonás után keletkezik:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 b c cos α + 2 c a cos β + 2 a b cos γ . \end{matrix}

Tekintettel arra, hogy

b c = \frac{2 t}{sin α}

c a = \frac{2 t}{sin β}

a b = \frac{2 t}{sin γ}

,
keletkezik

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4 t cotg α + 4 t cotg β + 4 t cotg γ \end{matrix}

és innen

\begin{matrix} t = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 (cotg α + cotg β + cotg γ)} . \end{matrix}

Tölösi Márta és Varga Irén (Érseki leányg. VII. o. Esztergom.)