Kezdőlap


Feladat:	1289. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Gy. , Czinczenheim József , Fehér György , Frankl Otto , Földesi Tamás , Grosz László , Harsányi János , Holzer Pál , Huhn Péter , Kálmán T. , Kolostori J. , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lóránd Endre , Mandl Béla , Nagy Elemér , Pálos Peregrin , Papp I. , Radovics György , Sebestyén Gyula , Somogyi Antal , Tésy Gabriella , Vajda József
Füzet:	1937/március, 212 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Hiperbola egyenlete, Hiperbola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1289. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} m (x + y) - x y = m \end{matrix}

egyenletet

\begin{matrix} (x - m) (y - m) = m^{2} - m ... \end{matrix}

(1)

alakban írhatjuk és ebből világosan kitűnik, hogy oly egyenlőszárú hiperbolával van dolgunk, melynek aszimptotái az

\begin{matrix} x = m, y = m \end{matrix}

egyenesek.^{$^{*}$} Ha

m = 0

, akkor a hiperbola egyenlete

x y = 0

, azaz a hiperbola a koordináta-rendszer tengelyeiből álló egyenespárrá fajul. Ha

m = 1

, akkor a hiperbola egyenlete:

\begin{matrix} (x - 1) (y - 1) = 0, \end{matrix}

azaz szintén egyenespárral van dolgunk, mely az

x = 1

y = 1

egymásra merőleges egyenesekből áll.
Ha

m \neq 0

és

m \neq 1

, akkor a hiperbola helyzete ‐ és ennek megfelelőleg az

y

függvény változása ‐ kétféle lehet, aszerint, amint

\begin{matrix} m^{2} - m ≷ 0. \end{matrix}

\begin{matrix} m^{2} - m = m (m - 1) > 0, ha m < 0 vagy m > 1. \end{matrix}

Ekkor a hiperbola az

x = m

és

y = m

egyenesekhez viszonyítva az

x < m

és

y < m

, ill. az

x > m

és

y > m

relációk által meghatározott síkrészekben (első és harmadik negyedben) fekszik. Az

y

függvény változását a köv. táblázat mutatja:

\begin{matrix} \begin{matrix} x & - \infty & ... & m & m & ... & + \infty \\ y & m & ↘ & - \infty & + \infty & ↘ & m \end{matrix} \end{matrix}

Azaz:

y

folyton fogy;

x = m

helyen szakadása van.

II.

m^{2} - m = m (m - 1) < 0

, ha

0 < m < 1

. Ebben az esetben a hiperbola ágai az

x < m

y > m

, ill.

x > m

y < m

relációk által meghatározott síkrészekben (második és negyedik síknegyedben) feküsznek. Az

y

függvény változását mutatja:

\begin{matrix} \begin{matrix} x & - \infty & ... & m & m & ... & + \infty \\ y & m & ↗ & + \infty & - \infty & ↗ & m \end{matrix} \end{matrix}

A függvény értéke folyton növekedik; az

x = m

helyen szakadása van.

2^{0}

. Ha

m \neq 0

, akkor, mivel

\begin{matrix} x + y = 1 és x y = m^{2}, \end{matrix}

x

és

y

\begin{matrix} u^{2} - u + m^{2} = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei. Ezek valósak, ha

1 - 4 m^{2} \geq 0, azaz | m | \leq \frac{1}{2}

,
és

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (1 \pm \sqrt[]{1 - 4 m^{2}}), y = \frac{1}{2} (1 \mp \sqrt[]{1 - 4 m^{2}}) . \end{matrix}

A gyökök szerkesztése: megszerkesztjük a félkört, melynek átmérője az egység. Az átmérővel párhuzamosan, az átmérőtől

| m |

távolságban egyenest húzunk, amely a félkört metszi, ha

| m | < \frac{1}{2}

, érinti, ha

| m | = \frac{1}{2}

. A metszéspontnak az átmérőn való vetülete az átmérőt két részre osztja; ezek egyike

x

, a másika

y

.
Ha

| m | = \frac{1}{2}

, akkor

x = y = \frac{1}{2}

Mandl Béla (Zrínyi Miklós rg. VII. o. Bp. VIII.).

Jegyzet. Mindazon hiperbolák, melyeket az 1) egyenlet a változó

m

paraméterrel meghatároz, keresztülmennek az

(1, 0)

és

(0, 1)

pontokon. Az I. csoporthoz tartozó hiperboláknak azon ága, mely vagy az

x < m, y < m

, vagy az

x > m

y > m

síkrészben fekszik, mind a két ponton megy keresztül A II. csoporthoz tartozó hiperboláknak egyik ága az

(1, 0)

, a másik ága a

(0, 1)

ponton megy keresztül.
Ha 1)-ből

\begin{matrix} y = \frac{m (x - 1)}{x - m} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} y' = \frac{m (1 - m)}{{(x - m)}^{2}} \end{matrix}

y'

előjele

m

megadott értékénél állandó előjelű, tehát a megoldásban jellemzett változást igazolja.
Végül megjegyezzük, hogy a feladat sajtóhibával látott napvilágot. Ezen körülmény a feladatot egyszerűbbé tette.

^{$^{*}$}Úgy foghatjuk fel a dolgot, mintha a koordinátarendszer tengelyeit önmagukkal párhuzamosan eltoltuk volna.