Kezdőlap


Feladat:	1286. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almássy György , B. Major P. , Bálint Gy. , Barna Tibor , Bölcskei János , Cseh Sándor , Donáth Géza , Esztó Zoltán , Farkas Imre , Fehér György , Frankl Otto , Földesi Tamás , Gombos S. , Grosz László , Harsányi János , Hörcher János , ifj. Jankovich I. , ifj. Puky (Kukorelly) Gyula , ifj. Seidl Gábor , Kádár Géza , Kemény György , Kolostori J. , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lóránd Endre , Major L. , Mandl Béla , Nádor J. , Nagy Elemér , Németh E. , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Papp I. , Pappert T. , Petricskó Miklós , Radovics György , Schwarz János , Sebestyén Gyula , Somogyi Antal , Szerényi László , Taussig F. , Tegző J. , Tésy Gabriella , Tölösi Márta , Vajda József , Varga Irén , Zubek P.
Füzet:	1937/március, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1286. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kiindulunk abból, hogy

\begin{matrix} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + k^{2} = \frac{1}{6} k (k + 1) (2 k + 1) . \end{matrix}

A + B

összeg az előbb felírt reláció alapján fejezhető ki, ha t. i.

k = 2 n - 1

. Eszerint

\begin{matrix} A + B = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + {(2 n - 2)}^{2} + {(2 n - 1)}^{2} = \frac{1}{6} (2 n - 1) 2 n (4 n - 1) = \\ = \frac{1}{3} n (2 n - 1) (4 n - 1) ... & (1) \end{matrix}

\begin{matrix} A - B = (2^{2} - 1^{2}) + (4^{2} - 3^{2}) + (6^{2} - 5^{2}) + ... + [{(2 n - 2)}^{2} - {(2 n - 3)}^{2}] - {(2 n - 1)}^{2} = \\ = [3 + 7 + 11 + ... + (4 n - 5)]^{*} - {(2 n - 1)}^{2} = \frac{(4 n - 5 + 3) (n - 1)}{2} - {(2 n - 1)}^{2} = \\ = (2 n - 1) (n - 1) - {(2 n - 1)}^{2} = (2 n - 1) [n - 1 - (2 n - 1)] = - n (2 n - 1) . \\ 2 A = \frac{1}{3} n (2 n - 1) (4 n - 1) - n (2 n - 1) = n (2 n - 1) [\frac{4 n - 1}{3} - 1] = \frac{4}{3} n (2 n - 1) (n - 1) \\ A = \frac{2}{3} n (n - 1) (2 n - 1) \\ 2 B = \frac{1}{3} n (2 n - 1) (4 n - 1) + n (2 n - 1) = n (2 n - 1) [\frac{4 n - 1}{3} + 1] = \frac{2 n}{3} (2 n - 1) (2 n + 1) \\ B = \frac{n}{3} (4 n^{2} - 1) . \end{matrix}

Hörcher János (Érseki rg. VII. o. Bp. II.).

^*A szögletes zárójelen belül elsőrendű számtani haladványunk van, amelyben a tagok száma

n - 1

. Ugyanis az

A

tagjainak száma

n - 1

, a

B

összeg tagjainak száma

n