Kezdőlap


Feladat:	1285. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bernáth M. , Bölcskei János , Czinczenheim József , Datner Pál , Erdős G. , Fehér György , Frankl Otto , Földesi Tamás , ifj Puky Gy. , Jakab Károly , Kálmán T. , Kemény György , Lóránd Endre , Papp I. , Sájerman J. , Schwarz János , Sebestyén Gyula , Simon E. , Somogyi Antal , Szél Gy. (Kölcsey) , Szűcsi J. , Tarnóczy Loránt , Vajda József
Füzet:	1937/március, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Permutációk, Kombinációk, Variációk, Feltételes valószínűség, események, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1285. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$2 n$ számú golyóból $n$ számú golyót¹ $(\binom{2 n}{n})$ féleképpen húzhatunk ki. A lehetséges esetek száma tehát $(\binom{2 n}{n})$ .
Kedvező esetnek olyan csoportot kell tekintenünk, amelyben $k$ számú fehér és $(n - k)$ számú fekete golyó van. Minthogy $n$ fehér golyóból $k$ számút $(\binom{n}{k})$ -féle módon, $n$ fekete golyóból $(n - k)$ számút $(\binom{n}{n - k}) = (\binom{n}{k})$ féleképpen választhatunk ki, a kedvező esetek száma: $(\binom{n}{k}) (\binom{n}{k}) = {(\binom{n}{k})}^{2}$ .
A keresett valószínűség: $v = \frac{{(\binom{n}{k})}^{2}}{(\binom{2 n}{n})}$ .

Fehér György (Áll. Fazekas Mihály r. VII. o. Debrecen).

I. Jegyzet. Minthogy a lehetséges esetek száma magában foglalja az összes eseteket, ha

k = 0, 1, 2, ..., n,

azért

\begin{matrix} {(\binom{n}{0})}^{2} + {(\binom{n}{1})}^{2} + {(\binom{n}{2})}^{2} + ... + {(\binom{n}{n})}^{2} = (\binom{2 n}{n}) . \end{matrix}

II. Jegyzet. Abban az esetben, ha feladatunk úgy szólt volna, hogy

n

golyót egyenként húzunk ki, a kihúzottat ismét visszatesszük, akkor jelentenék a lehetséges esetek a fehér és fekete szín

n

-ed oszt. ismétléses variációit, melyeknek száma

2^{n}

, míg a kedvező esetek száma az

n

elemből alkotott permutációk száma, ha közöttük csak kétféle elem van, az egyik

k

, a másik

(n - k)

számban, azaz:

\frac{n!}{k! (n - k)!} = (\binom{n}{k})

.
Ezt azért említjük meg, mert négy dolgozatban ezen felfogás alapján történt az eredmény megállapítása, anélkül azonban, hogy ezen felfogást kiemelték volna.

¹Egyszerre vagy egymásután úgy, hogy a kihúzottat nem tesszük vissza.