Kezdőlap


Feladat:	1281. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Frankl Otto , Grosz László , Nagy Elemér , Pálos Peregrin , Vajda József
Füzet:	1937/február, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Menelaosz-tétel, Magasságvonal, Körülírt kör, A háromszögek nevezetes pontjai, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1281. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Az $A B C Δ$ három magasságvonala egy $M$ ponton megy keresztül és ezért Ceva tételével:

\begin{matrix} \frac{B A'}{C A'} \cdot \frac{C B'}{A B'} \cdot \frac{A C'}{B C'} = - 1 ... \end{matrix}

(1)

A B C Δ

minden oldalát metszi az

A'' B' C'

egyenes és így Menealos tétele szerint

\begin{matrix} \frac{B A''}{C A''} \cdot \frac{C B'}{A B'} \cdot \frac{A C'}{B C'} = + 1 ... \end{matrix}

(2)

(1)-ből és (2)-ből keletkezik

\begin{matrix} \frac{B A''}{C A''} \cdot \frac{B A'}{C A'} = - 1 ... \end{matrix}

(3)

Hasonlóan mutatható ki, hogy

\begin{matrix} \frac{C B''}{A B''} \cdot \frac{C B'}{A B'} = - 1 ... & (4) \\ és \frac{A C''}{B C''} \cdot \frac{A C'}{B C'} = - 1 ... & (5) \end{matrix}

A (3), (4), (5) megfelelő tagjainak szorzásával

\begin{matrix} \frac{B A''}{C A''} \cdot \frac{C B''}{A B''} \cdot \frac{A C'}{B C'} \cdot \frac{B A'}{C A'} \cdot \frac{C B'}{A B'} \cdot \frac{A C'}{B C'} = - 1 \end{matrix}

és végül tekintettel (1)-re

\begin{matrix} \frac{B A''}{C A''} \cdot \frac{C B''}{A B''} \cdot \frac{A C'}{B C'} = 1 \end{matrix}

azaz az

A''

B''

C''

pontok egy egyenesen feküsznek.

2^{0}

. Minthogy a

B C' B' C

idom húrnégyszög, azért

\begin{matrix} \bar{A'' B'} \cdot \bar{A'' C'} = \bar{A'' C} \cdot \bar{A'' B} . \end{matrix}

A baloldalon álló szorzat jelenti az

A''

pontnak az

A' B' C' Δ

köré írt, a jobboldali szorzat pedig az

A B C Δ

köré írt körre vonatkozó hatványát, tehát az

A''

pont hatványa a szóban forgó két körre nézve egyenlő. Ugyanez áll a

B''

és

C''

pontokra is. Eszerint az

A''

B''

C''

pontok a két kör hatványvonalán feküsznek, azaz az

A'' B'' C''

egyenes a két kör hatványvonala.

Nagy Elemér (Ciszterci Szent Imre g. VII. o. Bp. XI.)

Jegyzet.

1^{0}

. Az

A B C Δ

és

A' B' C' Δ

megfelelő csúcsait összekötő egyenesek egy

M

ponton mennek keresztül; ebből következik, Desargues tétele szerint, hogy a megfelelő oldalak metszéspontjai egy egyenesen feküsznek.

2^{0}

. Ha a tétel

2^{0}

. részét mutatnánk ki előbb, akkor ezzel a tétel első része igazolva van.
Feladatunknak azonban az volt a célja, hogy az

1^{0} .

részt a

2^{0} .

-tól függetlenül oldjuk meg.