Kezdőlap


Feladat:	1280. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Barna Tibor , Bluszt Ernő , Frankl Otto , Grosz László , Harsányi János , Holzer Pál , Kolostori J. , Komlós János , Kukorelly Gy. , Lóránd Endre , Marosán Zoltán , Miklós J. , Pálos Peregrin , Papp István , Sebestyén Gyula , Somogyi Antal , Szabó L. , Tésy Gabriella , Vajda József
Füzet:	1937/február, 183 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Rombuszok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1280. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Az $A B C D$ rombust a $B D$ átló két egybevágó egyenlő oldalú háromszögre bontja, mert $B D = A B = A D$ . Ebből következik, hogy $P B C ∢ = C D Q ∢ = 60^{\circ}$ .

Minthogy

B P ∥ D C

és

B C ∥ D Q

, azért

P B C Δ \sim C D Q Δ

, és így

\begin{matrix} P B : B C = C D : D Q, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \bar{B P} \cdot D Q = \bar{B C} \cdot \bar{C D} = a^{2} . \end{matrix}

^{$^{*}$}

2^{0}

. Mivel feltevésünk szerint

B D = a

\bar{B P} \cdot \bar{D Q} = B D^{2},

vagyis

B P : B D = B D : D Q

.
Azonban

P B D ∢ B D Q ∢ = 120^{\circ}

és így

P B D Δ \sim B D Q Δ

.
Forgassuk a

B D Q Δ

-et

B

körül

60^{\circ}

-ú szöggel úgy, hogy

D

pont

A

-ba kerüljön. Ekkor

D Q

B D

-vel, és

B Q

P D

-vel párhuzamos helyzetbe kerül (minthogy

P B D Δ \sim B D Q Δ

). Ebből következik, hogy

D M Q ∢ = 60^{\circ}

, azaz

B M D ∢ = 120^{\circ}

. Eszerint tehát

A B M D

húrnégyszög: az

M

pont az

A B D Δ

köré írt kört írja le.

^{$^{*}$}Ezen eredmény független attól, hogy

B D = a