Kezdőlap


Feladat:	1279. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Almássy György , Barna Tibor , Bencze József , Bluszt Ernő , Bölcskei János , Csatlós J. , Demény Jolán , Farkas Imre , Fekete András , Frankl Otto , Gombos S. , Harsányi János , Herczeg Gy. , Holzer Pál , Huhn Péter , Kádár Géza , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Kukorelly Gy. , Lóránd Endre , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Miklós J. , Nagy Elemér , Németh K. , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Papp István , Pappert T. , Radovics György , Rappaport Sándor , Sájermann János , Sándor Aranka , Schwarz János , Sebestyén Gyula , Somogyi Antal , Szelei Gy. , Taussig F. , Tésy Gabriella , Törös Anna , Vajda József
Füzet:	1937/február, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1279. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünket

\begin{matrix} 2 cos x 3 x = 2 sin 3 x cos 3 x ill. cos 3 x (sin 3 x - cos x) = 0 \end{matrix}

alakban írhatjuk. Már most lehetséges:
I.

cos 3 x = 0, azaz  3x=(2k+1)\frac{π}{2}ésx=(2k+1)\frac{π}{6}

.
Azonban

0 < (2 k + 1) \frac{π}{6} < 2 π,

vagyis

0 < 2 k + 1 < 12

úgy, hogy

\begin{matrix} x = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6} . \end{matrix}

Ezek valóban megfelelnek.
II.

sin 3 x - cos x = sin 3 x - sin (\frac{π}{2} - x) = 2 cos (x + \frac{π}{4}) sin (2 x - \frac{π}{4}) = 0

.
Már most innen
a)

cos (x + \frac{π}{4}) = 0

, tehát

x + \frac{π}{4} = (2 k + 1) \frac{π}{2}

és

x = (2 k + 1) \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

\begin{matrix} 0 < x < 2 π, ha k = 0 és k = 1, azaz x = \frac{π}{4} és \frac{5 π}{4} . \end{matrix}

sin (2 x - \frac{π}{4}) = 0, ha 2 x - \frac{π}{4} = k π, ill. x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{8}

\begin{matrix} 0 < x < 2 π, ha k = 0, 1, 2, 3 azaz x = \frac{π}{8}, \frac{5 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{13 π}{8} . \end{matrix}

Tésy Gabriella (Szent Margit leányg. VIII. o. Bp. XI.)

Jegyzet. a) Az egységsugarú kört az

X

tengelyen fekvő pontjából kiindulva osszuk fel

48

egyenlő részre.
Az I. csoportba tartozó megoldások a

\frac{2 π}{48}

nagyságú ívnek

4

12

20

28

36

44

-szeresei. Ezen ívek végpontjai egy szabályos hatszög csúcsai amely a

0^{0}

-nak megfelelő kezdőhelyzetből

4 \cdot \frac{2 π}{48}

-nak megfelelő

30^{\circ}

-ú ívvel van a pozitív irányban elforgatva. (A hatszög csúcsai pontokkal jelezve)

A II.

b

) csoporthoz tartozó megoldások a

\frac{2 π}{48}

mérőszámú ívnek

3

15

27

39

-szeresei. Ezen ívek végpontjai egy négyzet csúcsai, amely

0^{\circ}

-nak megfelelő kezdő helyzetből

3 \cdot \frac{2 π}{48}

-nak megfelelő

22, 5^{0}

-kal van a pozitív irányból elforgatva. (A négyzet csúcsai kis körökkel jelezve!)
A II.

a

) csoporthoz tartozó megoldások egy átmérő végpontjai, a

\frac{2 π}{48}

mérőszámú ívnek

6

- ill.

30

‐ szorosához tartoznak. (Ezen pontok

x

jelzéssel bírnak.) Ezen átmérőt tehát a

0^{\circ}

-hoz tartozó átmérőből

6 \cdot \frac{2 π}{48}

-nak megfelelő

45^{\circ}

forgással nyerjük.

b) A

sin 3 x - cos x = 0

egyenlet megoldásait grafikus úton megkapjuk, ha ábrázoljuk az

\begin{matrix} y = sin 3 x és y = cos x \end{matrix}

görbéket,

0

és

2 π

között. A két görbe metszéspontjai, ill. a hozzájuk tartozó abcisszák megadják a

sin 3 x - cos x = 0

egyenlet megoldásait; amint látjuk,

6

metszéspontja van a két görbének.