Kezdőlap


Feladat:	1278. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Barna Tibor , Bluszt Ernő , Czinczenheim József , Frankl Otto , Gállik István , Harsányi János , Holzer Pál , Huhn Péter , Komlós János , Lóránd Endre , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Pálos Peregrin , Sándor Aranka , Somogyi Antal , Tésy Gabriella , Tóth Miklós , Vajda József
Füzet:	1937/február, 181 - 182. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1278. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $y = a x^{2} + b x + c$ görbe $(x_{1}, y_{1})$ pontjában húzott érintő irányhatározója

\begin{matrix} m = {(\frac{d y}{d x})}_{x = x_{1}} = {(3 a x^{2} + b)}_{x = x_{1}} = 3 a x_{1}^{2} + b ... \end{matrix}

(1)

és az érintő egyenlete

\begin{matrix} y - y_{1} = m (x - x_{1}) ... \end{matrix}

(2)

Az érintőnek és a görbének közös pontjait az

\begin{matrix} y = a x^{3} + b x + c és y = m (x - x_{1}) + y_{1} \end{matrix}

egyenletekből álló rendszer megoldásai adják meg.

y

kiküszöbölésével a közös pontok abcisszái az

\begin{matrix} a x^{3} + b x + c = m (x - x_{1}) + y ill a x^{3} (b - m) x + c + m x_{1} - y_{1} = 0 ... \end{matrix}

(3)

egyenlet gyökei. Minthogy (1)-ből

b - m = - 3 a x_{1}^{2}

és

\begin{matrix} c + m x_{1} - y_{1} = c - (3 a x_{1}^{2} + b x_{1} - a x_{1}^{3} - b) x_{1} - c = 2 a x_{1}^{3}, \end{matrix}

a (3) egyenlet a következő alakban írható:

\begin{matrix} a x^{3} - 3 a x_{1}^{2} x + 2 a x_{1}^{3} = 0, ill. x^{3} - 3 x_{1}^{2} x + 2 x_{1}^{3} = 0 ... \end{matrix}

(3a)

Ezen egyenletnek az érintkezés miatt

x_{1}

a kétszeres gyöke; ha a harmadik gyök

α

, akkor a három gyök összege, mivel

x^{2}

együtthatója eltűnt,

\begin{matrix} 2 x_{1} + α = 0 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} α = - 2 x_{1}, β = - 8 a x_{1}^{3} - 2 b x_{1} + c \end{matrix}

a görbének és az

(x_{1}, y_{1})

pontjában húzott érintőnek

M

metszéspontját határozzák meg.
Az

M T

távolság felezőpontjának koordinátái

\begin{matrix} ξ = \frac{x_{1} + α}{2} = \frac{x_{1} - 2 x_{1}}{2} = - \frac{x_{1}}{2}, η = \frac{y_{1} + β}{2} = \frac{- 7 a x_{1}^{3} - b x_{1} + 2 c}{2} . \end{matrix}

x_{1} = - 2 ξ

helyettesítésével

\begin{matrix} η = 28 α ξ^{3} + b ξ + c vagy y = 28 a x^{3} + b x + c \end{matrix}

lesz az

M T

távolság felezőpontjának mértani helye.

Pálos Peregrin (Bencés rg. VIII. o. Pápa.)

Jegyzet. A

3 a

) egyenletben a gyökök szorzata

\begin{matrix} - 2 x_{1}^{3} = x_{1}^{2} α, azaz α = - 2 x_{1} . \end{matrix}

3 a

) egyenletet

x = x_{1}

kielégíti. De

x = x_{1}

, kielégíti a

\begin{matrix} 3 x^{2} - 3 x_{1}^{2} = 0 \end{matrix}

egyenletet is; ezen egyenlet baloldala a

3 a

) baloldalának differenciálhányadosa. Ugyanis az

f (x) = 0

egyenlet kétszeres gyöke az

f' (x) = 0

egyenletnek is gyöke.
Az

(x = 0, y = c)

pont úgy az adott görbének, mint az

M

pont mértani helyének közös pontja, még pedig inflexiós pontjuk. Az inflexiós pontban összeesik a

T

és az

M

, és így az

M T

felezőpontja is ide esik.