Kezdőlap


Feladat:	1277. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Barna Tibor , Bluszt Ernő , Czinczenheim József , Farkas Imre , Frankl Ottó , Harsányi János , Holzer Pál , Huhn Péter , Kolostori J. , Komlós János , Kukorelly Gy. , Lóránd Endre , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Pálos Peregrin , Sándor Aranka , Schwarz János , Somogyi Antal , Vajda József
Füzet:	1937/február, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Determinánsok további alkalmazásai, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1277. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A parabola egyenlete legyen: $y^{2} = 2 p x$ . A parabola csúcsa a koordinátarendszer kezdőpontja, a parabola tengelye az $X$ -tengelye.
A parabola csúcsán átmenő $e$ egyenes egyenlete: $y = m x$ .
Az erre merőleges $f$ egyenes egyenlete: $y = - \frac{1}{m} x$ .
Az $e$ egyenes a parabolát a csúcspontján kívül még egy pontban metszi. Ennek koordinátái az

\begin{matrix} y^{2} = 2 p x és y = m x \end{matrix}

egyenletekből álló rendszert elégítik ki. Az

y

kiküszöbölésével

\begin{matrix} m^{2} x^{2} = 2 p x és innen x_{1} = 0, x_{2} = \frac{m^{2}}{2 p} . \end{matrix}

x_{1} = 0

mellett

y_{1} = 0

. Ez a parabola csúcsa.

x_{2}

-höz tartozik

y_{2} = \frac{2 p}{m} \cdot (x_{2}, y_{2})

, az

e

egyenesnek és a parabolának másik metszéspontja,

A

.

Hasonlóan

\begin{matrix} y^{2} = 2 p x és y = - \frac{1}{m} x \end{matrix}

egyenletrendszer megoldásai az

f

egyenes és a parabola metszéspontjait határozzák meg.

y

kiküszöbölésével

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{m^{2}} = 2 p x és innen x'_{1} = 0, x'_{2} = 2 p m^{2} . \end{matrix}

x'_{1} = 0

mellett

y'_{1} = 0

; ez a parabola csúcsa.

x'_{2}

-höz tartozik

y'_{2} = - 2 p m

(x'_{2}, y'_{2})

f

egyenesnek és a parabolának másik metszéspontja,

B

.
Nyilván az

A B

húr a parabola csúcsából derékszög alatt látszik. Ha

A'

A

és

B'

B

szimmetrikus pontja a parabola tengelyére (

X

-tengely) nézve, akkor

A' B'

is derékszög alatt látható a parabola csúcsából; azonban így

A B

és

A' B'

metszéspontja az

X

-tengelyen fekszik. Azt kell tehát kimutatnunk, hogy az

A B

húrnak az

X

-tengellyel való metszéspontja független az

m

értékétől.
Az

A

B

pontokon átmenő egyenes egyenlete:

\begin{matrix} | \begin{matrix} x & y & 1 \\ \frac{2 p}{m^{2}} & \frac{2 p}{m} & 1 \\ 2 p m^{2} & - 2 p m & 1 \end{matrix} | = 0, ill. |\begin{matrix} x & y & 1 \\ 2 p & 2 p m & m^{2} \\ 2 p m^{2} & - 2 p m & 1 \end{matrix}|=0 \end{matrix}

y = 0

, akkor

(2 p m + 2 p m^{3}) x + (- 4 p^{2} - 4 p^{2} m^{3}) = 0

és innen

\begin{matrix} x = 2 p . \end{matrix}

A B

húr ez

X

-tengelyt ‐

m

értékétől függetlenül ‐ oly pontban metszi, amelynek a parabola csúcsától való távolsága a csúcspont és a gyújtópont távolságának

(\frac{p}{2} -nek)

négyszerese.

Huhn Péter (Kegyesrendi g. VIII. o. Szeged)

Jegyzet. Ha

m = 1

, akkor

A B

merőleges az

X

-tengelyre és

x_{3} = 2 p - x'_{2}

. Megoldásunkban azért választottuk a két ponton átmenő egyenes egyenletének determinánssal való felírását, mert ebben mindkét pont egyformán szerepel.