Kezdőlap


Feladat:	1275. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bencze József , Donáth Géza , Farkas Imre , Hörcher János , ifj. Seidl Gábor , Kádár Géza , Komlós János , Kondor István , Mandl Béla , Németh K. , Radovics György , Schwarz János , Szél Gy. (Érseki kath. gimn.) , Tegző J.
Füzet:	1937/február, 178 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1275. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünkben a négyzetgyök, mint $x$ -nek egyértékű függvénye, szerepel, jelentsen tehát pozitív számot, esetleg zérust. Ebből következik, hogy egyenletünket csak $x \geq 2$ érték elégíti ki.
Tegyük fel tehát, hogy $c \geq 2$ . Ha két pozitív szám egyenlő, négyzetük is egyenlő és viszont ilyen értelemben az 1) egyenlet ekvivalens a

\begin{matrix} 2 x^{2} + 2 x - m = {(x - 2)}^{2} vagyis x^{2} + 6 x - (m + 4) = 0 ... 2) \end{matrix}

egyenlettel. Megjegyezhetjük, hogy

x

minden oly valós értéke mellett, mely a 2)-t kielégíti.

2 x^{2} + 2 x - m

értéke négyzetté, tehát pozitívvá válik.
Vizsgáljuk tehát az

\begin{matrix} f (x) = x^{2} + 6 x - (m - 4) függvényt. \\ f (2) = 12 - m . \end{matrix}

I. Ha

m > 12

f (2) < 0

. Ebből következik, hogy az

f (x) = 0

egyenletnek két gyöke van ¹; a két gyököt

2

elválasztja, azaz az egyik gyök nagyobb, a másik kisebb, mint

2

. Eszerint a nagyobbik gyök az 1) egyenlet megoldása.
II.

m = 12

mellett

f (2) = 0

, azaz az

f (x) = 0

egyik gyöke

2

. Ez kielégíti az 1)-t is, t. i.

m = 12

esetében

x = 2

helyettesítésével az egyenlet mindkét oldala eltűnik. Az egyenlet másik gyöke

- 8

; ez azonban nem elégíti ki az 1)-et.
III. Ha

m < 12

, akkor

f (2) > 0

. Most már azt is meg kell vizsgálnunk, hogy vannak-e

f (x)

-nek negatív értékei, ill. valós zérushelyei. Erre nézve a diszkrimináns szolgál felvilágosításul:

\begin{matrix} D \equiv 36 + 4 (m + 4) = 4 (m + 13) . \end{matrix}

m < - 13

, akkor 2)-nek nincsenek valós gyökei.
Ha

- 13 < m < + 12

, akkor 2)-nek két valós gyöke van. Minthogy

f (2) > 0

, mind a két gyök

2

-höz viszonyítva ugyanolyan helyzetű. Tekintettel arra, hogy a gyökök félösszege

- 3 < 2

, mind a két gyök kisebb

2

-nél, tehát egyik som felel meg

1

)-nek.
Összefoglalva a mondottakat: az 1) egyenletnek csak egy megoldása van, még pedig akkor, ha

m > 12

Bencze József (Ferenc József g. VIII. o. Kőszeg)

Jegyzet. A feladat megoldására még számos dolgozat érkezett. Ezek nem voltak figyelembe vehetők, mert csak a 2) egyenlet megoldásával foglalkoztak. Holott itt az volt a lényeges, hogy megvizsgáljuk, megfelelnek-e a 2) egyenlet gyökei az irracionális egyenletnek?
Azon célból, hogy a megoldás jelentését kidomborítsuk, kitűztük ezen feladat geometriai értelmezését. (L. ezen számban az 1300. feladatot.)
A másik szempont, amire munkatársaink figyelmét felhívni óhajtom, hogy a vizsgálatokat lehetőleg függvénytani oldaláról végezzék, annál inkább, mivel tananyagunkat is ebben a irányban dolgozzuk fel.

f (x)

x

-nek oly másodfokú függvénye, amelyben

x^{2}

együtthatója pozitív. Értékkészletében negatív és pozitív értékek is vannak.