Feladat: 1273. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Barna Tibor ,  Bluszt Ernő ,  Demény Jolán ,  Farkas Imre ,  Frankl Otto ,  Grosz László ,  Harsányi János ,  Holzer Pál ,  Huhn Péter ,  Hörcher János ,  Kádár Géza ,  Kolostori J. ,  Komlós János ,  Lóránd Endre ,  Mandl Béla ,  Marosán Zoltán ,  Nagy Elemér ,  Oroszhegyi Szabó Lajos. ,  Pálos Peregrin ,  Schwartz János ,  Seidl Gábor ,  Somogyi Antal ,  Szücsi J. ,  Tarnóczy L. ,  Törös Anna ,  Vajda József ,  Weisz Alfréd 
Füzet: 1937/február, 175 - 176. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1936/december: 1273. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy A1B=C1B és BO felezi a β szöget, BOA1C1. Hasonlóan CO felezi a γ szöget és COA1B1.
Így

B1A1C1=α1=β2+γ2=π-α2.

 
 

Ugyanígy
α2=π-α12=12(π-π-α2)=2π-π+α4α3=π-α22=4π-2π+π-α8α4=π-α32=8π-4π+2π-π+α16α2n=(22n-1-22n-2+...+2-1)π22n+α22n...1)α2n+1=(22n-22n-1+...+22-2+1)π22n+1-α22n+1...2)
Már most*
22n-1-22n-2+...+2-1=-(1-2+22-...+22n-2-22n-1)==-(-2)2n-1-2-1=22n-1322n-22n-1+...+22-2+1=1-2+22-...-22n-1+22n==(-2)2n+1-1-2-1=22n+1+13.


Eszerint α2n=(22n-1)π322n+α22nésα2n+1=(22n+1+1)π322n+1+α22n+1.

E két kifejezésnek közös alakot adhatunk úgy, hogy 2n ill. 2n+1 helyett m-et írunk és ekkor
αm=2m-(-1)m32mπ+α(-2)m.

 Bluszt Ernő (Kossuth Lajos rg. VI. o. Pestszenterzsébet)
 

Jegyzet. Ha m, akkor limαm=π3, azaz az A1B1C1, A2B2C2...AmBmCm háromszögek egyenlő oldalú háromszöghöz közelednek.
*Mértani haladvány, melynek hányadosa -2, a tagok száma 2n; a következőben a tagok száma 2n+1.