Kezdőlap


Feladat:	1271. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Barna Tibor , Bencze József , Bluszt Ernő , Czinczenheim József , Farkas Imre , Harsányi János , Holzer Pál , Jakab Károly , Kolostori Gy. , Kukorelly Gy. , Mandl Béla , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Papp I. , Radovics György , Sándor Aranka , Schwarz János , Sebestyén Gyula , Somogyi Antal , Szilárd Rezső , Szűcsi István , Tésy Gabriella , Vajda József
Füzet:	1937/február, 173 - 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1271. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat követelményét a

\begin{matrix} b a^{5} + c a^{4} + b a^{3} + c a^{2} + b a + c = b {(2 a)}^{3} + b {(2 a)}^{2} + a \cdot 2 a + a \end{matrix}

ill.

b a^{5} + c a^{4} + b a^{3} + c a^{2} + b a + c = 8 b a^{3} + 4 b a^{2} + 2 a^{2} + a ...

1)
egyenlet fejezi ki. Ebből

c (a^{2} + a + 1) = a f (a, b) ...

2)
azaz

a

c

osztója. Azonban

c

a

alapú számrendszerben számjegy és ezért

c < a

. Ezért

a

csak úgy lehet

c

osztója, ha

c = 0

. Helyettesítve ezt 1)-be:

a^{4} b + a^{2} b + b = 8 a^{2} b + 4 a b + 2 a + 1. ...

3)
Innen

\begin{matrix} 2 a + 1 = b f_{1} (a, b) \end{matrix}

Eszerint

b

osztója

(2 a + 1)

-nek. Azonban feltevésünk szerint

b

osztója

a

-nak: kell, hogy

b

osztója legyen

1

-nek is, tehát

b = 1

. Ennek tekintetbe vételével 3)-ból lesz:

\begin{matrix} a^{4} + a^{2} + 1 = 8 a^{2} + 4 a + 2 a + 1 vagyis a^{4} - 7 a^{2} = 6 a, \end{matrix}

ill. mivel

a \neq 0

, keletkezik

a (a^{2} - 7) = 6 ...

4)

Amint látjuk,

a

osztója

6

-nak; másrészt kell, hogy

a^{2} - 7 > 0

, azaz

a^{2} > 7

legyen és így vagy

3

vagy

6

. Ezek közül pedig csak

a = 3

felel meg a 4) egyenletnek. A keresett szám:

\begin{matrix} {[101010]}_{3} = {[1133]}_{6} = {[273]}_{10} . \end{matrix}

Szücsi István (Szent László rg. VIII. o. Bp. X.)